Составители:
Рубрика:
90
Используя (5.15) в формуле ξ(t) = Re[
¯
Ξ exp(ipt)], получаем выражение
для частного решения в виде
ξ(t) =
F
0
p
(ω
2
0
− p
2
)
2
+ 4γ
2
p
2
cos(pt + ψ + ψ
0
) . (5.17)
Это гармоническое колебание с частотой внешнего сигнала, амплитуда
кот орого равна
A(p) =
F
0
p
(ω
2
0
− p
2
)
2
+ 4γ
2
p
2
, (5.18)
а угол ψ есть сдвиг фазы между внешней силой и откликом на нее ос-
циллятора.
Задача 5.2. Убедитесь прямой подстановкой, что формула (5.17) действи-
тельно дает решение уравнения (5.14).
Полное решение записывает ся в виде
x(t) = e
−γt
(A cos ωt + B sin ωt) +
=
F
0
p
(ω
2
0
− p
2
)
2
+ 4γ
2
p
2
cos(pt + ψ + ψ
0
) . (5.19)
Постоянные интегрирования A и B вычисляются по формулам (5.5), в
кот орых, в соответствии с (5.17), следует положить ξ(0) = A(p) cos(ψ +
+ ψ
0
),
˙
ξ(0) = −pA(p) sin(ψ + ψ
0
).
Решение (5.19) показывает, что движение осциллятора под внешним
гармоническим воздействием является суперпозицией двух движений:
первое слагаемое описывает собственные затухающие колебания осцил-
лятора, а второе происходит с частотой внешней силы и является выну-
жденным движением осциллятора. Амплитуда и фаза собственных ко -
лебаний зависят как от начальных условий, так и, через константы A и
B, от параметров внешней силы. В выражение для вынужденных колеба-
ний начальные условия не входя т, поэтому это движение целиком опре-
деляется внешним воздействием. Самое важное состоит в том, что о ба
слагаем ых различным образом ведут себя на больших временах. Экспо-
ненциальный множитель exp(−γt) в первом слагаемом приводит к тому,
что за время порядка нескольких τ ∼ 1/γ с момента начала действия
силы собственные колебания практически полностью затухают и вклад в
полное движение будет дает только вынужденное колебание.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 88
- 89
- 90
- 91
- 92
- …
- следующая ›
- последняя »
