Линейные колебания и волны. Трубецков Д.И - 91 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

91
Таким образом, полная картина процесса следующая. После начала
действия силы в течении времени порядка нескольких τ (это время на-
зывается временем установления) движение представляет собой суперпо-
зицию собственных затухающих колебаний осциллятора с частотой ω и
вынужденных незатухающих колебаний с амплитудой и частотой, зави-
сящих только от параметров внешней силы. После окончания времени
установления остаются только вынужденные колебания.
Наиболее отчетливо процесс установления можно наблюдать в спе-
циальном случае, когда сначала осциллятор покоился (x
0
= 0, v
0
= 0)
и в момент времени t = 0 на него начинает действовать сила F (t) =
= F
0
sin(ω
0
t). Будем также считать, что добротность осциллятора велика.
Из формул (5.16) следует, что вынужденное колебание сдвинуто по фа зе
на ψ = −π/2 от носительно внешней силы, а подставив p = ω
0
в (5.18),
получаем, что амплитуда вынужденных колебаний равна F
0
/(2γω
0
). В
полном решении необходимо учесть также собственные колебания ос-
циллятора:
x(t) = e
−γt
(A cos ω
0
t + sin ω
0
t) −
F
0
2γω
0
cos ω
0
t .
В в первом слагаемом сделана замена ω на ω
0
, т.к. эти частоты мало от-
личаются друг от друга, и накапливающаяся из-за такой замены ошибка
в фазе колебаний за время установления будет мала. Потребовав выпол-
нение начальных условий, получаем A = F
0
/(2γω
0
), B = F
0
/(2ω
2
0
). Так
как A/B = ω
0
/γ 1, т о слагаемое, пропорциональное коэффициенту B
дает заметный вклад в полное колебание только в течении нескольких
первых периодов действия внешней силы, а затем его влиянием можно
пренебречь. В итоге получаем простой результат:
x(t) = −
F
0
2γω
0
(1 −e
−γt
) cos ω
0
t . (5.20)
Процесс установления колебаний, рассчитанный по ф ормуле (5.20), по-
казан на рис. 5.3. На начальном этапе, пока t τ , амплитуда колебаний
меняется во времени по линейному закону: 1 − exp(−γt) ≈ γt, поэто-
му x(t) ≈ −F
0
t/(2ω
0
) cos ω
0
t, однако затем происходит насыщение и на
временах порядка времени установления амплитуда выходит на стацио-
нарный уровень A
m
= F
0
/(2γω
0
).
§ 4. Резонанс
Через достаточно большое время после начала действия силы в систе-
ме устанавливаются вынужденные колебания, амплитуда и фаза которых

Страницы