Математическое моделирование в геоэлектрике. Часть I. Слоистые модели среды. Юдин В.М - 135 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

135
3
1
3
31
() .D
ρ
σ
λ
σ
ρ
→=
(3.1.1.19)
Асимптотики при
λ
→∞
.
Для получения асимптотических выражений воспользуемся известным
поведением модифицированных функций Бесселя при стремлении их
аргументов к бесконечности:
1
() , () , () ()
22
2
x
x
e
Ix Kx e IxKx
x
x
x
νν νν
π
π
−
≈
≈≈
.
1. Двухслойная среда.
Для определителя
2
∆
здесь имеем
12
2201110
2
IK IK
a
σ
σ
σσ
+
∆= + ≈
,
поэтому
2
1
1
1C
ρ
ρ
→−
,
1
212
12
2
() 1Dk
σ
λ
σσ
→=−
+
,
где величину
21
12
21
k
ρ
ρ
ρ
ρ
=
принято называть коэффициентом отражения.
2. Трехслойная среда.
3213201110212
20 11 1 1110 1 30 21 2 21 2 0 2
( )( )()()( )( )
[ ()() ()()][ ()() ()()]
IrIrKrKr
IrKr IvrKr IrKr IrKr
σ
σσ σ λ λ λ λ
σλ λσ λσλ λ σλ λ
∆= − − +
++≈
2
2132 213 2
22
2
2132 2132 2132
22
2132
1
()() ()()
4( ) 4( )
()() ()()()()
1
()()
4( ) 4( )
h
h
e
aa h aa h
e
aa h aa h
λ
λ
σσσσ σσσσ
λλ
σ
σσ σ σ σσ σ σ σσ σ
σσσσ
λλ
−
−




−− +++ =
++
++ −− ++
=+ ≈
++
++
Асимптотическое выражение для определителя может быть записано более
кратко:
2
31223
22
12 23 12 23
11
(1 )
(1 )(1 ) ( ) (1 )(1 ) ( )
h
ekk
kkaah kkaah
λ
λλ
−
∆≈ + ≈
−− + −− +
.
Таким образом, получаем асимптотические соотношения для коэффициентов:
1)
в скважине
112 23
Ck k
≈
+
,
2) в обсадной трубе
212 23
(1)Ck k
=
−
, 
                                                           σ 1 ρ3
                                              D3 (λ ) →       = .                                            (3.1.1.19)
                                                           σ 3 ρ1
    Асимптотики при λ → ∞ .

   Для получения асимптотических выражений воспользуемся известным
поведением модифицированных функций Бесселя при стремлении их
аргументов к бесконечности:
                             ex               π −x                    1
                   Iν ( x) ≈      , Kν ( x) ≈    e , Iν ( x) Kν ( x) ≈ .
                             2π x             2x                      2x

1. Двухслойная среда.
Для определителя ∆ 2 здесь имеем
                                                                        σ1 + σ 2
                                       ∆ 2 = σ 2 I 0 K1 + σ 1I1K 0 ≈             ,
                                                                         2λ a
поэтому
                                                             ρ2
                                                    C1 →        −1,
                                                             ρ1
                                                         2σ 1
                                           D2 (λ ) →             = 1− k12 ,
                                                        σ1 + σ 2
где величину
                                                            ρ 2 − ρ1
                                                   k12 =
                                                            ρ2 + ρ1
принято называть коэффициентом отражения.
2. Трехслойная среда.
     ∆3 = (σ 2 − σ 1 )(σ 3 − σ 2 ) I 0 (λ r1 ) I1 (λ r1 ) K 0 (λ r2 ) K1(λ r2 ) +
     [σ 2 I 0 (λ r1 ) K1 (λ r1 ) + σ 1I1 (vr1) K0 (λ r1 )][σ 3 I0 (λ r2 ) K1 (λ r2 ) + σ 2 I1 (λ r2 ) K0 (λ r2 )] ≈
                                           e − 2λ h                                        1
          (σ 2 − σ 1 )(σ 3 − σ 2 ) 2                  + (σ 2 + σ 1)(σ 3 + σ 2 ) 2                     =
                                      4λ a(a + h)                                   4λ a(a + h)
           (σ 2 + σ 1 )(σ 3 + σ 2 )       −2 λ h (σ 2 − σ 1 )(σ 3 − σ 2 )
                                                                            (σ 2 + σ 1)(σ 3 + σ 2 )
             =                      1 + e                                 ≈
                4λ 2 a(a + h)                   (σ 2 + σ 1)(σ 3 + σ 2 )       4λ 2a(a + h)
Асимптотическое выражение для определителя может быть записано более
кратко:
                            1                                                          1
      ∆3 ≈                                      (1 + e−2λ h k12 k23 ) ≈                                 .
            (1 − k12 )(1− k23 )λ a(a + h)
                                  2
                                                                        (1− k12 )(1 − k23 )λ 2 a(a + h)
Таким образом, получаем асимптотические соотношения для коэффициентов:
       1) в скважине

                                                     C1 ≈ k12 + k23 ,
2) в обсадной трубе

                                                 C2 = ( k12 − 1)k23 ,
                                                           135

Страницы