Математическое моделирование в геоэлектрике. Часть I. Слоистые модели среды. Юдин В.М - 137 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

137
б) Вертикальная компонента электрического поля
1
30
0
2
(, ) ( ) ( ) sin ( )
4
z
d
J
U
Erz D K r z zd
z
ρ
λ
λλ λ λ
ππ
∞
∂
=− = −
∂
∫
(3.1.1.20
2
)
в)Радиальная компонента электрического поля
31
0
2
()()cos( )
4
r
d
UI
EDKrzzd
r
ρ
λ
λλ λ
λ
ππ
∞
∂
=− = −
∂
∫
(3.1.1.20
3
)
2. Интегралы, связанные с электрическим диполем.
а) Потенциал:
1
30
0
2
(, ) ( ) ( ) sin ( ) .
4
dd
J
Urz D K r zzd
ρ
λ
λλ λ λ
ππ
∞
=−
∫
(3.1.1.21
1
)
б) Вертикальная компонента электрического поля
:
2
1
30
0
2
(, ) ( ) ( ) cos ( ) .
4
d
z
d
U
J
Erz D K r z zd
z
ρ
λ
λλ λ λ
ππ
∞
∂
=− = −
∂
∫
(3.1.1.21
2
)
в)Радиальная компонента электрического поля
:
2
1
31
0
2
(,) ()()sin( ) .
4
d
r
d
U
J
Erz D K r z z d
r
ρ
λ
λλ λ λ
ππ
∞
∂
=− = −
∂
∫
(3.1.1.21
3
)
Численное интегрирование
Подынтегральные функции имеют интегрируемые особенности
(бесконечно большие величины порядка O(-ln(mr)) или O(1/mr). Они связаны с
присутствием под знаком интеграла функций K
n
(.) (n = 0, 1). При численном
интегрировании полезно подынтегральные функции или их части представить в
виде разности, учитывающей характер особенности подынтегральной функции
1
0
() ()
cos ( )
()
2
(, ) (, ),
sin ( )
()4
() ()
n
k
d
d d
n
d
DD
zz
Kr
J
Frz z d Frz z
zz
Ir
CC
αα
αα
λλ
λ
λ
ρ
λλ
λ
λππ
λλ
∞





−
−
−= +∆ −
−
−
∫
где k=0,1,2; n=0,1;
α
=1,2,3 и
(, )
d
Frz z
−
,
0
(, )
d
Frzz
−
– суть потенциалы или
компоненты электрического поля в слоистой среде и их аналоги в однородном
пространстве
1
0
cos ( )
()
()
2
(, ): .
sin ( )
()4
()
n
k
d
d
n
d
zz
D
Kr
J
Frz z d
zz
Ir
C
α
α
λ
λ
λ
ρ
λ
λ
λππ
λ
∞
−
∆−=
−
∫
Кроме того, функции, аппроксимирующие коэффициенты, полезно выбрать
такими, чтобы последние интегралы вычислялись аналитически.
В качестве примера приведем выражения для потенциала и электрических
полей точечного источника в пространстве.
0
1
330 3
0
2
( , , ) [ ( ) (0)] ( )cos ( ) (0) ( , , ),
4
ddd
J
Urzz D D K r z z d D U rzz
ρ
λλλλ
ππ
∞
=− −+
∫
б) Вертикальная компонента электрического поля
                                        ∞
                              ∂U J ρ1 2
                              ∂z 4π π ∫0 3
             E z (r , z ) = −   =         D (λ ) K 0 (λ r )λ sin λ ( z − zd )d λ              (3.1.1.202)

в)Радиальная компонента электрического поля
                                   ∞
                   ∂U        Iρ 2
                    ∂r 4π π ∫0 3
           Er = −          =         D (λ ) K1 (λ r )λ cos λ ( z − zd )d λ                    (3.1.1.203)

   2. Интегралы, связанные с электрическим диполем.
а) Потенциал:
                             J ρ1 2 ∞
                             4π π ∫0 3
              U d (r , z ) =          D (λ ) K0 (λ r )λ sin λ ( z − zd )d λ.                  (3.1.1.211)

б) Вертикальная компонента электрического поля:
                       ∂U  Jρ 2 ∞
        Ez (r , z ) = − d = 1 ∫ D3 (λ ) K0 (λ r )λ 2 cos λ ( z − zd )d λ.                     (3.1.1.212)
                        ∂z 4π π 0
в)Радиальная компонента электрического поля:
                             ∂U d J ρ1 2 ∞
                                    4π π ∫0 3
             Er (r , z ) = −     =            D (λ ) K1(λ r )λ 2 sin λ ( z − zd )d λ.            (3.1.1.213)
                              ∂r
                                     Численное интегрирование
     Подынтегральные                функции          имеют          интегрируемые            особенности
(бесконечно большие величины порядка O(-ln(mr)) или O(1/mr). Они связаны с
присутствием под знаком интеграла функций Kn(.) (n = 0, 1). При численном
интегрировании полезно подынтегральные функции или их части представить в
виде разности, учитывающей характер особенности подынтегральной функции
                                                    
                        J ρ1 2 ∞  Dα (λ ) − Dα (λ )  K n (λ r ) k cos λ ( z − zd )
                                                                 λ                   d λ + ∆F (r , z − zd ),
                        4π π ∫0 C (λ ) − C (λ )  I n (λ r ) sin λ ( z − zd )
   F ( r , z − zd ) =
                                 α          α    
где k=0,1,2; n=0,1; α=1,2,3 и F (r , z − zd ) , F 0 (r , z − zd ) – суть потенциалы или
компоненты электрического поля в слоистой среде и их аналоги в однородном
пространстве
                                J ρ 2 ∞ D (λ ) K n (λ r ) k cos λ ( z − zd )
             ∆F (r , z − zd ) := 1 ∫ α                   λ                   d λ.
                                4π π 0 Cα (λ ) I n (λ r ) sin λ ( z − zd )
Кроме того, функции, аппроксимирующие коэффициенты, полезно выбрать
такими, чтобы последние интегралы вычислялись аналитически.
   В качестве примера приведем выражения для потенциала и электрических
полей точечного источника в пространстве.
                    Jρ 2 ∞
     U (r, z, zd ) = 1 ∫ [ D3 (λ ) − D3 (0)]K 0 (λ r )cos λ ( z − zd )d λ + D3 (0)U 0 (r , z, zd ),
                    4π π 0


                                                       137

Страницы