Математическое моделирование в геоэлектрике. Часть I. Слоистые модели среды. Юдин В.М - 138 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

138
0
1
330 3
0
2
(, , ) [ ( ) (0)] ( ) sin ( ) (0) (, , ),
4
z z
ddd
J
Erzz D D K r mz zd D Erzz
ρ
λλλ λ
ππ
∞
=− −+
∫
0
1
331 3
0
2
( , , ) [ ( ) (0)] ( ) cos ( ) (0) ( , , ).
4
r r
ddd
J
E rzz D D K r z z d D E rzz
ρ
λλλλλ
ππ
∞
=− −+
∫
Однако, предпочтительнее из коэффициента D
3
вычитать
функцию,которая имеет те же предельные значения, что и D
3
и интеграл от
которой вычислялся бы аналитически. Судя по графикам функции D
3
,
изображенных на рис. 4.5, такой функцией может являться, например, линейная
комбинация экспонент
12
31 2
()
aa
DAeAe
λ
λ
λ
−
−
=+
с надлежащим образом выбранными коэффициентами А
i
, a
i
(i = 1 ,2).
Аппроксимация экспонентами в литературе по численным методам известна
[Хемминг, 1968]. Воспользовавшись этими алгоритмами, получим
1
33 3
0
cos ( )
2
(, ) [( ( ) ( )) ( )] ( ) (, )
sin ( )
4
d
k
n
d d
d
zz
J
F
rz z D D D K mrm d Frz z
zz
λ
ρ
λλ λ
λ
ππ
∞
−
−= −∞− +∆ −
−
∫
,
где
0
1
33
0
cos ( )
2
(, ): ( ) ( ) ( ) (, ).
sin ( )
4
k
d
n
d d
d
zz
J
Frz z D K r d D F rz z
zz
λ
ρ
λλλ λ
λ
ππ
∞
−
∆−= +∞ −
−
∫
Интег
рал желательно выразить в замкнутом виде. Действительно, интегралы вида
()
00
Re
cos
() ()
Imsin
ai
ak k
nn
eK r d e K r d
λζ
λ
λ
ζ
λ
λλ λλ
λ
λζ
∞∞
−−
−
=
∫∫
являются табличными.
Например, полагая
:pai
=−
, в [Бейтмен, Эрдейи, 1969] находим
3222
0
() ln(( )/) , ,
p
o
eKrd ps psrss pr
λ
λλλ
∞
−
−−
=+−=−
∫
21 3
1
0
( ) ln(( ) / ).
p
eKrd psr rs psr
λ
λλλ
∞
−
−− −
=− +
∫
Замечание. Экспоненциальная аппроксимация подынтегральной функции
или ее части может послужить основой для быстрого приближенного расчета
нужных интегралов с относительной погрешностью порядка 10%. Сравнение
функций
3
()Dm
и
)(
~
3
mD
приведены на рис. 3.9. Достоинство аппроксимации
коэффициента
)(
3
mD
состоит в том, что этот коэффициент является общей
частью многих подынтегральных функций. Удачно выбранные параметры
экспонент позволяют выполнить вычисления этих интегралов (потенциалов и
электрических полей). 
                               J ρ1 2 ∞
                               4π π ∫0 3
          E z ( r , z , zd ) =          [ D (λ ) − D3 (0)]K 0 (λ r )λ sin m( z − zd )d λ + D3 (0) Ez0 (r , z, zd ),

                        J ρ1 2 ∞
                        4π π ∫0 3
      Er (r , z, zd ) =          [ D (λ ) − D3 (0)]K1 (λ r )λ cos λ ( z − zd )d λ + D3 (0) Er0 (r , z, zd ).

             Однако, предпочтительнее из коэффициента D3 вычитать
  функцию,которая имеет те же предельные значения, что и D3 и интеграл от
    которой вычислялся бы аналитически. Судя по графикам функции D3 ,
изображенных на рис. 4.5, такой функцией может являться, например, линейная
                            комбинация экспонент
                                                  D3 (λ ) = A1e−a1λ + A2e− a2λ
с надлежащим образом выбранными коэффициентами Аi, ai (i = 1 ,2).
Аппроксимация экспонентами в литературе по численным методам известна
[Хемминг, 1968]. Воспользовавшись этими алгоритмами, получим
                    J ρ1 2 ∞                                             cos λ ( z − zd )
  F (r , z − zd ) =
                    4π π 0 ∫ [( D3 (λ ) − D3 (∞ )) − D3 (λ )]K n (mr )mk
                                                                         sin λ ( z − zd )
                                                                                          d λ + ∆F ( r , z − zd ) ,

где
                J ρ1 2 ∞                      k cos λ ( z − zd )
                 4π π 0∫
      ∆F (r , z − zd ) :=D3 (λ ) K n ( λ r )λ
                                                sin λ ( z − zd )
                                                                 d λ + D3 (∞) F 0 (r , z − zd ). Интег

рал желательно выразить в замкнутом виде. Действительно, интегралы вида
      ∞
                                 cos λζ      Re ∞
      ∫ e K n (λ r )λ
         − aλ         k
                                        d λ = ∫ e−λ (a −iζ ) K n (λ r )λ k d λ
      0
                                 sin λζ      Im 0
являются табличными.
   Например, полагая p := a − iζ , в [Бейтмен, Эрдейи, 1969] находим
      ∞
             −λ p
      ∫0 e          K o (λ r )λ d λ = ps −3 ln(( p + s) / r ) − s −2 , s = p 2 − r 2 ,

      ∞
             −λ p
      ∫0 e          K1 (λ r )λ d λ = ps −2r −1 − rs −3 ln(( p + s) / r ).

   Замечание. Экспоненциальная аппроксимация подынтегральной функции
или ее части может послужить основой для быстрого приближенного расчета
нужных интегралов с относительной погрешностью порядка 10%. Сравнение
функций D3 (m) и D~3 (m) приведены на рис. 3.9. Достоинство аппроксимации
коэффициента D3 (m) состоит в том, что этот коэффициент является общей
частью многих подынтегральных функций. Удачно выбранные параметры
экспонент позволяют выполнить вычисления этих интегралов (потенциалов и
электрических полей).


                                                               138

Страницы