Математическое моделирование в геоэлектрике. Часть I. Слоистые модели среды. Юдин В.М - 20 стр.

        graddivE = grad −
                          1
                          σ
                         
                                    (    a
                                            ) ( )
                                grad σ ,E + div σ E
                                                   a n 
                                                       =
                                                       
                    = − grad σ
                             
                                 −1
                                          (   )
                                     grad σ ,E  + grad
                                              α
                                                
                                                        1
                                                        σ
                                                        
                                                                α n 
                                                           div σ E
                                                                    
                                                                    
                                                                        ( )
и уравнение ( 1.2.8 ) применительно к электрическому полю принимает вид :
                                    ∇σ a  2 a
                          ∇2Ea − ∇      E +k E = f ,                 (1.2.12)
                                            σ             
                                                          
где


                             f =f +∇           .
                                                  ∇ σ E( )
                                                     a n

                                 E       σ
Здесь ∇ – дифференциальный оператор Гамильтона. Очевидно, выражение ∇σ
требует специального рассмотрения при программировании. При ω → 0
производные по времени в (1.2.5-1.2.7) стремятся к нулю и уравнение (1.2.5)
теряет связь со свойствами среды и источниками поля, в то время как
уравнение (1.2.12) принимает вид


                         (                  )
                    1                                          Jα    
                                        α             α
               grad         grad σ , E          + ∆E = − grad  div   .
                    σ                                          σ     
                                                                       
Полагая E = − gradU , нетрудно увидеть, что уравнение (1.2.12) содержит
решения уравнения

                       div σ ⋅ gradU = div  σ E  ,
                                               α n
                                (                )                
которому удовлетворяет скалярный потенциал поля постоянного тока.

    Электродинамические потенциалы. Из второго уравнения Максвелла
следует div(µH) = 0, поэтому можно ввести вектор-потенциал A,
удовлетворяющий равенству:
                                  1
                              H = rot A .                  (1.2.13)
                                                       µ
Подставим (1.2.13 ) во второе уравнение Максвелла, получим
                                          (
                               rot E −i ω A = 0 .          )
Таким образом, вектор (E – iωA) является потенциальным вектором, поэтому
его можно представить в виде градиента некоторой скалярной функции U,
называемой скалярным потенциалом
                             E − iω A = grad U                    (1.2.14)

                                                  20