Математическое моделирование в геоэлектрике. Часть I. Слоистые модели среды. Юдин В.М - 21 стр.

или
                               E = iω A − grad U .                  (1.2.15)
Из выражений (1.2.13)-(1.2.14) видно, что векторный и скалярный потенциалы
определяются не однозначно. В частности, вектор-потенциал определен с
точностью до градиента скалярной функции ϕ, так как
                              (             )
                            rot A + grad ϕ = rot A .
Произвольной функцией ϕ пользуются для определения связи между A и U
таким образом, чтобы уравнения для компонент векторного потенциала были
наиболее простыми. Эту связь обычно устанавливают в следующем виде
(условие калибровки потенциалов, условие Лоренца) [Дмитриев, 1977]:
                             iω            1
                          U=     divA = −    divA .                 (1.2.16)
                               2          µσ
                             k
С учетом (1.2.16) вектор E может быть выражен только через A :
                              
                        E = iω  A − grad
                                             1       
                                                divA  .             (1.2.17)
                                             2      
                                            k
Покажем, что при такой связи между потенциалами в однородной среде вектор-
потенциал будет удовлетворять уравнению Гельмгольца.
    После подстановки (1.2.13) и (1.2.15) в первое уравнение Максвелла
получим дифференциальной уравнение для вектора A в следующем виде.
                                    2
                        −1        k         1       k2
                   rot µ rot A +      grad      divA +     A=j .   (1.2.18)
                                   µ
                                             2              s
                                           k        µ
В однородной среде

                                       (            )
                        rot rot A + grad divA + k 2 A = µ j .
                                                           s
Но
                                                (
                            rot rot A = grad divA − ∆A ,)
поэтому приходим к неоднородному уравнению Гельмгольца
                            ∆ A − k 2A = µ j .                   (1.2.180)
                                            s
      На поверхностях разрыва функций k и µ должны выполняться условия
сопряжения для вектор-потенциала, обеспечивающие непрерывность
тангенциальных составляющих векторов E и H. Из формулы (1.2.17) следует,
что для обеспечения непрерывности напряженности электрического поля Eτ
достаточно потребовать непрерывности тангенциальных составляющих
векторов. Этого можно достигнуть, если потребовать выполнения следующих
условий:




                                      21