Математическое моделирование в геоэлектрике. Часть I. Слоистые модели среды. Юдин В.М - 25 стр.

    С математической точки зрения вместо уравнений (1.2.21), (1.2.23) можно
рассматривать одно уравнение
                                           2
                                1        k
                             div grad U − U = − f .                  (1.2.25)
                                η        η       U
с условиями сопряжения

                                     1 ∂U           0, U = H x ,
                       [ ]∂ D  
                        U      = 0,                 =
                                                        iω S E ,U = E .
                                                                               (1.2.25)
                             i      η ∂ n            i x         x
                                               ∂D
                                                 i
      Пусть U = U + U и η = const, тогда уравнение (1.2.25) можно
                        n      a

преобразовать к более простому виду
                                   ∆ Ua − k 2 Ua = k 2 U .                      (1.2.26)
                                            n            a
      Уравнение (1.2.26) используется при построении решений двумерных
интегральных уравнений.
Двумерные осесимметричные задачи (2D&2D) [Захаров, 1979].
    Пусть
   • источниками электромагнитного поля являются электрический или
      магнитный диполи, расположенные на оси z цилиндрической системы
      координат, и оси диполей совпадают с осью z,
   • ось z является осью симметрии модели среды.
   Тогда в цилиндрической системе координат (ρ, ϕ, z) осесимметричные
задачи можно представить в виде суперпозиции полей двух типов
   Е-поляризованное поле (магнитное возбуждение)
                       E = (0, Eϕ ,0), H = ( H ρ ,0, H z ) ,                    (1.2.27)
   причем
                                          ∂E ( ρ , z )
                                       1    ϕ
                       H ρ (ρ , z) =                   ,
                                     ωµ       ∂z
                                                                                (1.2.28)
                                            ∂( ρ∂E ( ρ , z ))
                                         1          ϕ
                       H z (ρ , z) = −                        .
                                       ωµρ         ∂ρ
   Скалярная    функция        двух       переменных           E ( ρ , z) удовлетворяет
                                                              ϕ
   дифференциальному уравнению
                   ∂  1 ∂           ∂  1 ∂Eϕ  k 2
                              (ρ E ) +           − Eϕ = 0 .                  (1.2.29)
                      
                   ∂ρ  µρ ∂ρ     ϕ        µ ∂
                                     ∂z     z  µ

H-поляризованное поле (электрическое возбуждение)

                                           25