Математическое моделирование в геоэлектрике. Часть I. Слоистые модели среды. Юдин В.М - 26 стр.

                            H = (0, Hϕ ,0), E = ( Eρ ,0, Ez ) ,                              (1.2.30)
   причем
                                                    ∂H ( ρ , z )
                                                1      ϕ
                            Eρ ( ρ , z ) = −                       ,
                                               σ      ∂z
                                                                                             (1.3.31)
                                                ∂( ρ H ( ρ , z))
                                            1              ϕ
                            Ez (ρ , z) =                               .
                                           σρ           ∂ρ
   Скалярная        функция          двух           переменных             H (ρ , z)   удовлетворяет
                                                                            ϕ
   дифференциальному уравнению
                     ∂  1 ∂           ∂  1 ∂Hϕ  k 2
                                (ρ H ) +          − Hϕ = 0 .                               (1.2.32)
                        
                     ∂ρ  σρ ∂ρ
                                    ϕ 
                                       ∂z σ ∂z  σ
Сопоставление уравнений (1.3.29) и (1.3.32) позволяет сделать вывод, что для
обеих поляризаций соответствующие скалярные функции удовлетворяют
одному и тому же дифференциальному уравнению
                      ∂  1 ∂          ∂  1 ∂V  k 2
                                ( ρV ) +             − V = 0.        (1.2.33)
                        
                     ∂ρ  ηρ ∂ρ            η  ∂  
                                       ∂z      z  η
если принять, что при V ( ρ , z ) = Eϕ ( ρ , z ) параметр η = µ , а при
V ( ρ , z ) = Hϕ ( ρ , z) параметр η = σ .
       Если η = const , то уравнение (1.3.9) принимает вид

                                 ∂ 1 ∂          ∂ 2V 2
                                          ( ρV ) +     −k V =0.                              (1.2.34)
                                   
                                ∂ρ  ρ ∂ρ
                                                    2
                                                 ∂z
Будем рассматривать краевую задачу в полуплоскости
                          Π = {( ρ , z) | ρ ≥ 0, z ∈ R} .
Функция V ( ρ , z) должна удовлетворять следующим дополнительным
условиям.
    1.На оси диполя. В силу осевой симметрии
                                    lim V ( ρ , z ) = 0 .
                                   ρ →0
    2. Условия сопряжения на контурах Г разрыва свойств среды
                                 1 ∂V   1  cos(n, ρ ) ,
                      [V ] = 0,
                          Γ     η ∂n  = − η  V ρ          (1.2.35)
                                        
если n – вектор, нормальный к границе Г в полуплоскости П.


                                                      26