Математическое моделирование в геоэлектрике. Часть I. Слоистые модели среды. Юдин В.М - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

31
0.
0
0,
UUU z
z
=
→→∞
=
(2.1.1.3)
В пласте с номером
m уравнение (2.1.1.1), как известно, имеет общее решение:
()
,0
kz kz
mm
UzCe De k
mm m m
−
=+ ≠
,
где
C
m
,
D
m
– коэффициенты, не зависящие от z. В основании модели лежит
пласт неограниченной мощности. Для того, чтобы при
z →∞
0U →
нужно
принять
0C
n
=
, поэтому
()
.
kz
n
Uz De
nn
−
=
Недостатком этого решения является присутствие в нем экспонент с
положительной степенью, что может приводить к переполнению при
выполнении расчетов на ЭВМ. Пусть по определению
:(0) (0)
1
Uz U z
A
mm
m
=
−= +
+
.
Запишем общее решение рассматриваемой задачи в более удобном для
вычислений виде, автоматически учитывающем непрерывность поля на
границах раздела:
()
(
)
(
)
,1,2,, 1,
112
U
,,
Aq z A q z i N
m
mmm
z
m
kz
m
Ae m N
m
+
=−
+
=
−
=
…
(2.1.1.4)
где
()
()
,0,
1
1, 0,
z
shk h z
mm
k
m
shk h
q
mm
m
zh k
mm
−
≠
=
−=
,0,
2
,0.
shk z
m
k
m
shk h
q
mm
m
zh k
mm
≠
=
=
(2.1.1.5)
Здесь
1
z
zz
m
=−
−
. Отметим, что при
0k
m
и
h
m
→∞
() exp( ), () 0
12
qz kzq z
m
mm
→− →
.
Функции
,
12
qq
mm
удовлетворяют уравнению (2.1.1.1) и линейно
независимы, поэтому формула (2.1.1.4) есть его общее решение. Кроме того, из
(2.1.1.5) следуют равенства
()
(
)
01
12
qqh
m
mm
==
,
(
)
(
)
00
22
qqh
m
mm
=
=
,
поэтому
(
)
()
0
11
AU h U
mm
mm
==
−−
. Таким образом, непрерывность
(
)
Uz
при
z
z
m
=
имеет место. Для определения коэффициентов
A
m
используем второе
условие сопряжения из (2.1.1.2). Учет этого условия приводит к системе
линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей
коэффициентов: 
                                        U z = 0 =U U → 0              z →∞.          (2.1.1.3)
                                                       0,
В пласте с номером m уравнение (2.1.1.1), как известно, имеет общее решение:
                                           k z            −k z
                          U m ( z ) = Cme m + Dme m , km ≠ 0 ,
где Cm , Dm – коэффициенты, не зависящие от z. В основании модели лежит
пласт неограниченной мощности. Для того, чтобы при z → ∞ U → 0 нужно
принять Cn = 0 , поэтому
                                                         −k z
                                        U n ( z ) = Dne n .
     Недостатком этого решения является присутствие в нем экспонент с
положительной степенью, что может приводить к переполнению при
выполнении расчетов на ЭВМ. Пусть по определению
                                    Am := U m ( z − 0) = U     ( z + 0) .
                                                           m+1
     Запишем общее решение рассматриваемой задачи в более удобном для
вычислений виде, автоматически учитывающем непрерывность поля на
границах раздела:
                             Am q ( z ) + A
                                                m+1 2m ( )
                                                     q     z , i = 1,2,… , N − 1,
                                  1m
               Um ( z ) =                                                           (2.1.1.4)
                             A e−km z , m = N ,
                             m
где
                   shkm ( hm − z )                              shkm z
                                    , km ≠ 0,                           , km ≠ 0,
        q ( z ) =  shkm hm                             q =  shkm hm               (2.1.1.5)
         1m        
                                                          2m 
                   1 − z hm , km = 0 ,                         z hm , km = 0 .

Здесь z = z − z         . Отметим, что при km ≠ 0 и hm → ∞
                  m−1

                              q ( z ) → exp(−km z ), q ( z ) → 0 .
                               1m                     2m

     Функции     q1m , q2m удовлетворяют уравнению (2.1.1.1) и линейно
независимы, поэтому формула (2.1.1.4) есть его общее решение. Кроме того, из
(2.1.1.5) следуют равенства

                        q ( 0 ) = q ( hm ) = 1 , q ( 0 ) = q ( hm ) = 0 ,
                         1m        2m             2m        2m

поэтому Am = U      h
               m−1 m−1    (     )
                         = U m ( 0 ) . Таким образом, непрерывность U ( z ) при
 z = zm имеет место. Для определения коэффициентов Am используем второе
условие сопряжения из (2.1.1.2). Учет этого условия приводит к системе
линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей
коэффициентов:

                                               31

Страницы