Математическое моделирование в геоэлектрике. Часть I. Слоистые модели среды. Юдин В.М - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

33
Формула Липской. Н.В.Липская предложила рекуррентные формулы для
описания относительного импеданса одномерной модели МТЗ. Суть алгоритма
состоим в следующем. Используя общее решение уравнения (2.1.1.1) в виде
линейной комбинации экспонент и условия сопряжения (2.1.1.2), для каждой
границы раздела пластов имеем пару уравнений относительно неизвестных
коэффициентов
C
m
, D
m
:
,
.
11
11
1
11
11
1
kz kz
kz kz
mm
mm mm m m
Ce De C e D e
mm
mm
k
kz kz
k
kz kz
mm
mm
mm mm m m
Ce De C e D e
mm
mm
m
m
ηη







−
−
++
+= +
++
−
−
+
++
−= −
++
+
Разделим почленно правые и левые части равенств и умножим на
η
m
/k
m
. В
результате получим:
11
11
1
1
11
11
kz kz
mm
mm
De Ce
kz kz
mm
mm mm
k
De Ce
m
mm m
kz kz
kkzkz
mm mm
m
mm
De Ce
m
mm
mm
De Ce
mm
η
η








−
++
+
−
++
+
+
=
−
−
−
+
++
−
++
.(2.1.1.8)
Далее воспользуемся тождеством, которое проверяется непосредственно:
kz h kz h
kz kz
mm m mm m
mm mm
De Ce De Ce
mm mm
cth k h arcth
mm
kz kz
kz h kz h
mm mm
mm m mm m
De Ce
De Ce m m
mm
 
 
 
 
 
 





−− −
−
++
=+
−
−− −
−
−
.
Действительно
2
,
()
,:ln( /)
kz h kz h
mm m mm m
De Ce
mm
cth k h k z D C
mm mm m m m m
kz h kz h
mm m mm m
De Ce
mm
αα
 
 
 
 
 
 
−− −
+
=−+=
−− −
−
(#)
и
()
kz kz
mm mm
De Ce
mm
cth k z
mm m
kz kz
mm mm
De Ce
mm
α
−
+
=− +
−
−
.
Следовательно,
kz kz
mm mm
De Ce
mm
kz arcth
mm m
kz kz
mm mm
De Ce
mm
α
−
+
−+=
−
−
.
Подстановка в формулу (#) вместо
kz
mm m
α
−
+
правой части последней
формулы завершает доказательство тождества.
2
Примем :ln /
ba
α
=
и используем тождество
ln( / )
/
ba
ba e e
α
=
=
. Тогда
(
)
()
///
()
///
x
xx xx x
be ae b ae e b a e e
cth x
xx xx
x
x
be ae b ae e b a
ee
α
α
α
α
−+
−−+
++ +
===+
−−
−+
+
−−
−
. 
  Формула Липской. Н.В.Липская предложила рекуррентные формулы для
описания относительного импеданса одномерной модели МТЗ. Суть алгоритма
состоим в следующем. Используя общее решение уравнения (2.1.1.1) в виде
линейной комбинации экспонент и условия сопряжения (2.1.1.2), для каждой
границы раздела пластов имеем пару уравнений относительно неизвестных
коэффициентов Cm, Dm:
         k z        −k z            k    zm            −k    zm
    Cme m m + Dme m m = C         e m+1 + D           e m+1 ,
                              m+1                m+1
                                   k              k    zm           −k     zm 
     km  C ekm zm − D e−km zm  = m+1  C       e  m+ 1   − D     e   m +1    .
    η  m            m        
                                  η       m+1                m+1              
      m                              m+1                                      
Разделим почленно правые и левые части равенств и умножим на ηm /km. В
результате получим:
                                              −k     z           k     z 
                                       D    e   m+1 m + C      e  m+1 m 
        −k z         k z
    Dme m m + Cme m m kmηm+1  m+1                          m+1           
                                                                            .(2.1.1.8)
                          =
        −k z
    Dme m m − Cme m m km+1ηm  D              −k
                     k z                              zm          k     zm 
                                             e m+1 − C          e m+1 
                                       m+1                  m+1           
                                                                                                 
Далее воспользуемся тождеством, которое проверяется непосредственно:
     −km  zm −hm         km  zm −hm                              −k z          k z 
 Dme                    + Cme                                           Dme m m + Cme m m 
                                                 = cth  km hm + arcth                               .
     −km  zm −hm         km  zm −hm                              −km zm        km zm 
 Dme                    − Cme                                           Dme          − Cme        
                     2
  Действительно ,
    −km  zm −hm         km  zm −hm 
Dme                     + Cme
                                                 = cth ( km hm − km zm + α m ) , α m := ln( Dm / Cm )
    −km  zm −hm 
                    
                              km  zm −hm 
Dme                     − Cme
                                                                                                  (#)
и
                              −k z                k z
                         Dme m m + Cme m m
                                                          = cth ( − km zm + α m ) .
                              −km zm              km zm
                         Dme             − Cme
Следовательно,
                                                          −k z            k z
                                                    Dme m m + Cme m m
                        − km zm + α m = arcth                                     .
                                                          −km zm          km zm
                                                    Dme             − Cme
Подстановка в формулу (#) вместо − km zm + α m правой части последней
формулы завершает доказательство тождества.

2
    Примем α :=ln b / a и используем тождество b / a = eln( b / a ) = eα . Тогда
                                                                     −( x +α )
                  be x + ae− x   b / ae x + e − x / b / a e x +α + e
                               =                         =                      = cth( x +α ) .
                     x
                  be − ae  − x          x    −  x
                                 b / ae − e / b / a e       x +α −e
                                                                     − ( x +α )
                                                           33

Страницы