Математическое моделирование в геоэлектрике. Часть I. Слоистые модели среды. Юдин В.М - 39 стр.

     В) Произвольное конечное число пленок. По индукции можем записать
рекуррентную формулу, связывающие импеданс на нижних поверхностях
соседних S-пленок, отстоящих одна от другой на расстоянии hm-1 :
              Z      H
                m−1 m−1(  +0 =
                               S
                                  )  +
                                        1
                                           1
                                                    − iω µ h
                                                            m−1
                                                                ,
                                m−1 Z m ( H m + 0 )
где m = 2, 3. …,n-1; Z n z (
                          n−1         )
                               + 0 = − iω µ kn .
Окончательно получаем цепную дробь
                                               1
                   Z ( −0 ) =                                     .   (2.1.1.13)
                     0                       1
                              S +                        − iωµ h
                               0           1                    1
                                   S +          − iωµ h
                                    1 S +              2
                                         2
                                                         1
                                             S      +
                                               n−1 − iωµ kn

       Утверждение. Пусть
1. Z – импеданс однородного полупространства с удельным сопротивлением ρ и
   волновым числом k,
2. Ζs – импеданс бесконечной системы S- пленок таких, что
          • проводимость всех пленок S постоянна и равна h/ρ,
          • расстояние между соседними пленками постоянно и равно
             h.
Тогда
                                              2       2
                                       lim Zs = Z .
                                      h →0
Доказательство. При сделанных предположениях бесконечная цепная дробь
(2.1.1.13) примет вид:
                                            1
                                   Zs =          − iωµ h .
                                              1
                                          S+
                                             Zs
Отсюда имеем:
                       Z s (1 + SZ s ) − Z s + (1 + SZ s )iωµ h = 0
или
                                                   iωµ h
                               Z s2 + iωµ hZ s +         = 0.
                                                     S
Т.к. импеданс Z на поверхности однородного полупространства равен
                                               iωµ
                                         Z =−        ,
                                                 k
то
                                               iωµ h       iωµ h
                          Z 2 = −iωµρ = −              =−        .
                                                h/ρ          S
Следовательно,

                                            39