Математическое моделирование в геоэлектрике. Часть I. Слоистые модели среды. Юдин В.М - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

44
этой компоненты в сферической A
x
системе координат. При сферической
симметрии вектор-потенциал не зависит от
θ
и
ϕ
, так что
(
)
2
2
rA
x
A
x
r
∂
∂
∆=
.
Решением уравнения
(
)
()
2
2
2
rA
x
krA
x
r
∂
∂
=
является функция
C
kr
Ae
x
r
−
=
.
Для определения постоянной
C заметим, что при
ω
= 0
00
sin
22
0
A
Cy C
x
BH
zz
yr
rr
y
∂
µ
ϕ
∂
==− ==
=
.
Из закона Био-Савара следует, что
0
sin
2
4
I
B
z
r
µ
ϕ
π
=
, поэтому
4
I
C
µ
π
=
.
В итоге получаем
0
4
kr
Ie
A
x
r
µ
π
=
. (2.1.2.0)
Замечание.
В однородной среде в отсутствии свободных зарядов
0
*
div
=
E
, что дает основание ввести вектор-потенциал
*
A
[Ваньян, 1965]
**
: irot
ω
=EA
.
В этом случае источником поля является магнитный диполь.
Из уравнений Максвелла можно вывести следующие соотношения:
*2*
0,
*2* *2* *
,
k
k gradU k graddiv
∆− =
=− − =− −
AA
BA A A
если принять
**
Udiv=−
A
.
Поле вертикального магнитного диполя в случае горизонтально-слоистой
модели среды описывается одной отличной от нуля компонентой вектор-
потенциала
*
z
A
. Непрерывность тангенциальных компонент электрического и
магнитного полей будет обеспечена непрерывностью
*
z
A
и
1*
/.Az
z
µ
∂∂
−
С
математической точки зрения задача относительно компоненты
A
x
горизонтального электрического диполя и компоненты
*
z
A
одинаковы. Это дает
основание утверждать, что решения для компоненты
A
x
горизонтального
электрического диполя будут также решениями для компоненты
*
z
A
вертикального магнитного диполя с заменой момента электрического диполя I 
этой компоненты в сферической Ax системе координат. При сферической
симметрии вектор-потенциал не зависит от θ и ϕ, так что
                                    ∂ 2 ( rAx )
                              ∆Ax =             .
                                      ∂ r2
Решением уравнения
                                ∂ 2 ( rAx )
                                              = k 2 ( rAx )
                                  ∂ r2
является функция
                                        C
                                    Ax = e−kr .
                                        r
Для определения постоянной C заметим, что при ω = 0
                                   ∂A           C y C
                   Bz0 = µ H z0 = − x       =        = sin ϕ .
                                   ∂ y y =0 r 2 r r 2
                                          Iµ                        Iµ
Из закона Био-Савара следует, что Bz0 =         sin ϕ , поэтому C =    .
                                         4π r 2                     4π
В итоге получаем
                                        I µ e−kr
                                  Ax0 =          .             (2.1.2.0)
                                        4π r
      Замечание.     В однородной среде в отсутствии свободных зарядов
divE* = 0 , что дает основание ввести вектор-потенциал A* [Ваньян, 1965]
                                     E* := iω rotA* .
В этом случае источником поля является магнитный диполь.
     Из уравнений Максвелла можно вывести следующие соотношения:

                   ∆A* − k 2 A* = 0,
                   B* = −k 2 A* − gradU * = −k 2 A* − graddivA*,
если принять
                                U * = −divA* .
    Поле вертикального магнитного диполя в случае горизонтально-слоистой
модели среды описывается одной отличной от нуля компонентой вектор-
потенциала Az* . Непрерывность тангенциальных компонент электрического и
магнитного полей будет обеспечена непрерывностью Az* и µ −1∂ A*z / ∂ z. С
математической точки зрения задача относительно компоненты Ax
горизонтального электрического диполя и компоненты Az* одинаковы. Это дает
основание утверждать, что решения для компоненты Ax горизонтального
электрического диполя будут также решениями для компоненты Az*
вертикального магнитного диполя с заменой момента электрического диполя I

                                          44

Страницы