Математическое моделирование в геоэлектрике. Часть I. Слоистые модели среды. Юдин В.М - 45 стр.

на момент магнитного диполя М. В частности, по аналогии с (2.1.2.0),
компонента Az* в однородной среде будет равна
                                    M µ e − kr
                              Az =
                               *0
                                               .
                                    4π r

     2. Электромагнитное поле электрического диполя в горизонтально-
                              слоистой среде

      Будем предполагать, что диполь находится в воздухе на расстоянии h0 от
поверхности земли Поле горизонтального электрического диполя в n-слойной
среде описывается компонентами Ax и Az вектор-потенциала [Заборовский,
1960; Ваньян, 1965 ].
 2. Компонента Ax. Решение для Ax будем искать в виде функции, обладающей
    цилиндрической симметрией Ax = Ax (r,z):
                                  ∞
                               Iµ
                                     λ X ( z, λ ) J 0 ( λ r ) d λ .
                               4π ∫0
                          Ax =                                       (2.1.2.1)

      Подставляя (2.1.2.1) в уравнение
                       ∂ 2 Ax 1 ∂ Ax ∂ 2 Ax
                              +         +             − k 2 Ax = 0 ,
                        ∂r 2    r ∂r        ∂z   2

после изменения порядка интегрирования и дифференцирования получим
                I µ ∞  ∂ 2 1 ∂     ∂2         
                                              2  X ( z, λ ) J ( λ r ) λ d λ = 0 .
                             +     +      − k
                4π 0∫  ∂ r 2 r ∂ r ∂ z 2                    0
                                               
Так как функция J0 (λr) удовлетворяет уравнению Бесселя, то
                        ∂2 1 ∂ 
                            +       J ( λ r ) = −λ 2 J ( λ r ) .
                        ∂ r2 r ∂ r  0                 0
                                         
С учетом последнего равенства уравнение будет иметь вид
                         ∞
                      Iµ  d2X                         
                      4π ∫0  dz 2
                                    − ( k 2
                                             + λ 2
                                                   ) X  J0 (λ r ) λd λ = 0 .
                                                       
Последнее равенство будет выполнено, если положить
                        d2X
                             2
                               − p 2 X = 0, p 2 = ( k 2 + λ 2 ) .              (2.1.2.2)
                         dz
На границах пластов, не содержащих источников, условия сопряжения
решений для функции X следуют из непрерывности Ax и µ−1 ∂Ax /∂z :
                                              1 dX 
                                X  = 0,           =0 .                  (2.1.2.31)
                                              µ dz 
Кроме того, должно выполняться условие
                               X (z,λ ) → 0, | z | → ∞.                       (2.1.2.32)


                                               45