Математическое моделирование в геоэлектрике. Часть I. Слоистые модели среды. Юдин В.М - 49 стр.

                             ∂ 2W 1∂ W ∂ 2W 2
                                  +     +     − k W = 0,
                              ∂ r2 r ∂ r ∂ z2
поэтому для функции    решение будем искать в том же виде, что и для Ax:
                         W
                           ∞
                      W = ∫ µ Z ( z, λ ) λ J ( λ r ) d λ .          (2.1.2.12)
                           0                  0
Для Z получим уравнение
                      d 2Z
                      dz 2
                           − p 2 Z = 0, p 2 = k 2 + λ 2 (               )
                                                                    (2.1.2.13)

Условия сопряжения на границах пластов следуют из непрерывности функций:
                                     Az 1
                                        ;     divA.
                                     µ k2
Их непрерывность будет обеспечена, если
                                           1               
                              Z  = 0,     ( X + µ Z ′)  = 0 . (2.1.2.14)
                                              σµ                   
Второе условие в (2.1.2.14) имеет нестандартный вид и предполагает, что
функция Х известна. Если решение уравнения (2.1.2.13) с условиями
сопряжения (2.1.2.14) искать в виде разности функций [Ваньян, 1965,
Дмитриев, 1969]:
                                 Z = V − X ′ / µλ 2         ( )
                                                              (2.1.2.15)
то функция V удовлетворяет уравнению (2.1.2.13), что существенно упрощает
отыскание функции Z. Найдем условия сопряжения для вспомогательной
функции V. Согласно (2.1.2.15) из непрерывности Z следует, что функция V
                                                                (            )
непрерывна, так как этим свойством обладает X ′ / µλ 2 . Подставим (2.1.2.15) в
(2.1.2.14) и выполним преобразования
       1
      σµ                                 (          )                            (
          ( X + µ Z ′ ) = 1 X + 1 V ′ − X ′′ / σµλ 2 = 1 V ′ + 1 X − p2 X / σµλ 2 =
                      σµ       σ                            σ           σµ           )
                 1 ′ 1       λ2 + k2    1    −iωµσ    1    iω
             =     V +    X−         X = V′−       X = V′+     X.
                 σ     σµ     σµλ 2     σ    σµλ 2    σ    λ 2
Из непрерывности функций ( X + µ Z ′ ) / σµ и Х следует непрерывность функции
V ′ / σ . Подставляя предполагаемый вид решения в (2.1.2.13) для функции V
получим задачу:
                                    d 2V
                                          − p 2V = 0 ,                (2.1.2.16)
                                    dz 2
                                 1 dV 
                    V  = 0;  σ dz  = 0;       V → 0, z → ∞.     (2.1.2.17)
                                       
Функция X ′ / µ , а вместе с ней и V непрерывны на границах слоев лишь в
отсутствии источников в пласте. В частности, если бы в верхнем
полупространстве не было источников,


                                              49