Математическое моделирование в геоэлектрике. Часть I. Слоистые модели среды. Юдин В.М - 50 стр.

                     p z                       p z            −p h           p z
     X ( z ) = X (0)e 0 , X ′ ( z ) = p X (0)e 0 = p (C + e 0 0 / p )e 0 .
       0        0             0         0 0           0 0                0
На самом деле при z = 0 имеем
               −p h                           −p h               −p h             −p h
X (0) = C + e 0 0 / p , X ′ (0) = p (C − e 0 0 ) = p (C + e 0 0 / p ) − 2e 0 0 .
  0      0             0 0             0 0              0 0                 0
Следовательно,
                                                   −p h
                             X ′ (0) = p X (0) − 2e 0 0
                               0        0 0
                                                                   −p h
и функция X ′ на поверхности земли имеет разрыв, равный – 2e 0 0 , поэтому
                                                   −p h
                       [V ] = V (+0) − V (−0) = −2e 0 0 /(λ 2 µ )
                               1         0                      0
или
                                            −p h
                         V (0) = V (0) + 2e 0 0 /(λ 2 µ ) .                        (*)
                           0         1                  0
                                                            1
На поверхности земли, исходя из непрерывности
                                                          σµ
                                                              ( X + µ Z ′) , получаем
условие сопряжения производных функции V
                                 1 dV 
                                 σ dz  = 0 .
                                      
Отсюда на поверхности земли можем записать
                        V ′ (0) σ              σ
                         0     = 0 ⇒ V ′ (0) = 0 V ′ (0).                      (**)
                        V ′ (0) σ      0       σ1 1
                         1        1
                                                                         p z
В воздухе функция        V0 представима в виде            V ( z ) = β e 0 , поэтому
                                                            0          0
V ′ (0) = p V (0) . Подставим сюда вместо V0 (0) правую часть формулы (*),
 0         0 0
найдем
                                                   −p h           
                   V ′ (0) = p V (0) = p V (0) + 2e 0 0 /(λ 2 µ )  .         (***)
                    0         0 0       0 1                    0 
                                                              
Итак, согласно (**) и (***) получим
                   σ                          −p h             σ
         V ′ (0) = 0 V ′ (0) ⇔ p V (0) + 2e 0 0 /(λ 2 µ )  = 0 V ′ (0) .
           0       σ1 1          0 1
                                    
                                                             0  σ 1
                                                                  1
С учетом последнего соотношения на поверхности земли можно найти связь
между V1 (0) и V1′ (0) , учитывающую присутствия источника в воздухе,
следующего вида [Ваньян, 1965 ] :
                                                     −p h
                             σ0                   2e   0 0
                                 V ′(0) − V (0) =          .
                            σ p 1          1         2
                                                   λ µ
                             1 0                        0
В согласии с (2.1.1.9) , для функции V можем записать


                                          50