Математическое моделирование в геоэлектрике. Часть I. Слоистые модели среды. Юдин В.М - 52 стр.

                                            
                                            
               Iρ x ∞     k 2                −p h
                 1          1          1     e 0 0 J ( λ r ) d λ.
            =−                    −
               2π r 0∫      µ0 p1 σ µ    R*         1
                        p +         0 0   1 
                        0 µ R* σ µ p + p 
                              1    1 1 0  1
При получении последней формулы учтено, что

                    1 1 1          (
                                  1 1 1         1   )
                  X + µ Z ′ = X + µ V − X ′ /(λ 2 µ ) =
                                                          1
                                                              ′


                             (
                             1     11      1 1)
                         = X + µ V ′ − p 2 X / λ 2 = µ V ′ − k 2 X / λ 2.
                                                           11 1 1
В пласте с номером m (m > 0 ) значения компоненты Azm ( z ) могут быть
рассчитаны путем вычисления интеграла:
                                  Iµ ∂ ∞
                      Azm ( z ) = m          Z ( z, λ ) λ J ( λ r ) d λ ,
                                   4π ∂ x 0∫ m               0
в котором функция Z (z, λ) определяется формулой (2.1.2.15) или выражением
(2.1.1.4). В последнем случае коэффициенты находятся путем решения системы
типа (2.1.1.6), в которой нужно учесть более сложное условие сопряжения для
производной функции Z, вытекающее из (2.1.2.15):
                          1 dZ          1
                          σ dz         =          X  z j  ≡ ϕ j .
                                z= z    σ  z= z       
                                       j            j
Это приводит к появлению в правой части системы (2.1.1.6) дополнительных
слагаемых ϕj. Очевидно, в формулах (2.1.1.4)-(2.1.1.7) нужно заменить km на pm,
ηm на σm, U0 на Z(0,λ) в согласии с формулой (2.1.2.18).
   На основании приведенных выше формул потенциалов можно получить
выражения для компонент полей. Например, при z = 0, σ = 0, h = 0 для
                                                                          0 0
компоненты напряженности электрического поля получим (см. формулы
(2.1.2.10) и (2.1.2.19))
                                                                
                                                                
     Iµ   ∞                        I µ           ∞  p     k 2   
                λ                      iω ∂ x  1
E x = 0 iω ∫          J ( λr ) dλ + 0            ∫ *  −    1    J (λ r ) d λ .
     2π          µ
           0 p + 0 1p  0            2π k 2 ∂ x r 0R         µ p  1
                                        1                p + 0 1
              0 µ R*                                     0 µ R* 
                  1                                          1 

 3. Электромагнитное поле электрического диполя в полупространстве

    Здесь рассмотрим важный частный случай модели среды             – два
однородных полупространства, одно из которых соответствует воздуху (z < 0),
второе – земле z > 0. Применительно к этой модели иногда удается вычислить
несобственные интегралы, посредством которых описывается вектор-


                                        52