Математическое моделирование в геоэлектрике. Часть I. Слоистые модели среды. Юдин В.М - 53 стр.

потенциал и, следовательно, компоненты электромагнитного поля. В основе
этих вычислений лежат интегралы А.Зоммерфельда
                                                 e−k R
     S ( z, k ) := ∫ λ e− p|z| J 0 ( λ r ) d λ =
                   ∞
                      1
                                                       , R = r 2 + z 2 , p = λ 2 + k 2 , Re p > 0
                0     p                            R
и В.А.Фока
                          ∞ e− p1|z|                      k                      k     
          Φ(| z |, k ) := ∫            J ( λ r ) dx = I  1 ( R− | z |) K  1 ( R+ | z |) .
                    1     0 p1 0                       0 2                  0  2     
                                                          
 Здесь I ( ⋅) , K (⋅) – модифицированные функции Бесселя.
        0        0
      А. Нижнее полупространство (z > 0). Когда земля однородна, тогда
R* = R* = 1 , поэтому формулы для расчета компонент вектор-потенциала
существенно упрощаются.
                                                   −p h
                                        Iµ ∞ e 0 0 −p z
                              A =         0    λ             e 1 J ( λ r ) d λ,
                                x1 2π ∫ p + p                             0
                                            0       0 1
                                                     −p h
                                        Iµ ∂ ∞ e 0 0 − p z
                              A = 0                           e 1 J (λr ) dλ,
                                z1 2π ∂x 0∫ p + p                           0
                                                      0 1
                                    Iρ ∂ ∞
                     U (r , z ) = − 1            λ ( X1( z ) + Z1′ ( z )) J 0 (λ r )d λ =
                       1             4π ∂x 0∫
                       I ρ ∂ ∞                    k2           −p z
                    −     1
                                 ∫ λ  p1V1(0) −     1 X (0)  e 1 J (λ r )d λ.
                        4π ∂x 0                     λ2 1                      0
                                                              
Эти интегралы не могут быть выражены через элементарные или специальные
функции. Однако, если диполь расположен на поверхности земли ( h = 0 ), то
                                                                      0
компоненты вектор-потенциала,
                            Iµ ∞        1   −p z
                     A = 0 ∫λ              e 1 J (λ r ) dλ,
                      x1 2π                        0
                                0 p0 + p1
                            Iµ ∂ ∞ 1          −p z
                     A = 0        ∫         e 1 J (λ r ) dλ,
                      z1 2π ∂x 0 p + p               0
                                       0 1
и скалярный потенциал (см. (2.1.2.19))
                       I ρ ∂ ∞ −1           k2
               U =−       1     λ   ( p  −   1 ) e− p1z J (λ r )d λ ,
                 1     2π ∂x 0∫        1 p +p            0
                                           0 1
используя интегралы А.Зоммерфельда и В.А.Фока, можно выразить в
замкнутом виде [Заборовский, 1960; Ваньян,1965]. Согласно монографии
[Заборовский, 1960, с.72],




                                               53