Математическое моделирование в геоэлектрике. Часть I. Слоистые модели среды. Юдин В.М - 56 стр.

                      (      )
  Здесь Iα = Iα k r / 2 , Kα = Kα k r / 2 .
                      1                     (   1        )
  Б. Верхнее полупространство (z < 0). Если же источником поля является
магнитный диполь, то исследование поведения поля в рассматриваемой
области представляет практический интерес для аэроэлектроразведки.
Изучение полей в воздухе, возбуждаемых электрическим диполем, не
представляют практического интереса. Полезно получить формулы, когда и
источник поля и приемник расположены в проводящей среде (земле). В этом
случае нужно принять, что индекс 1 соответствует воздуху, а индекс 0 – земле.
     Формулы для расчета компонент вектор-потенциала и скалярного
потенциала в воздухе для горизонтально-однородной слоистой среды имеют
вид:
        I µ ∞  e− p0|h0 + z|              p    z
                                                   
                                                                               p − p / R*          −p h
  A =      0   λ                    + C   e    0     J  ( λ r ) d λ , C   =      0 1              e   0 0,
   x0 4π ∫                p             0          0                  0                     *
             0              0                                              p  p + p / R 
                                                                            0 0 1            
        Iµ ∂ ∞                   p z
  A = 0             λ  Z   (0) e   0 J (λr ) dλ =
   z0 4π ∂x 0∫           0              0
       Iµ ∂ ∞                                        p z
     = 0        ∫  λ V0 (0) − X 0′ (0) / λ 2  e 0 J 0 ( λ r ) d λ ,
        4π ∂x 0                                 

                           I µ iω ∂ ∞                   k2             −p z
             U (r , z ) =      0
                                        ∫ λ V0′ (0) −      0   X (0)  e 0 J (λ r )d λ .
                           4π k 2 ∂x 0                   λ 2 0                    0
                                 0                                     
                                                                        
     В однородном полупространстве R* =1 и коэффициент C принимает вид
                                                                                        0
                                                     p −p
                                        C =            0 1 e− p0h0 .
                                           0 p p +p
                                                     (
                                                   0 0 1     )
 Рассмотрим вычисление интегралов, через которые выражаются потенциалы.
     1) Компонента A в области z < 0.
                               x0
  Преобразуем часть выражения, входящего в C ,
                                                                      0
                                               2
              p −p
                0 1 =             ( p −p
                                     0      1)       =
                                                            1
                                                                   
                                                                     p −2p +
                                                                                  λ 2 + k2 
                                                                                         1 =
            p p +p
             0 0 1(          )   p    (
                                      p
                                   0 0 1         )
                                        2 − p2 k 2 − k 2  0
                                                         0 1 
                                                                             1      p
                                                                                      0
                                                                                            
                                                                                            
                                                                                            

                     1 
                                           p 2 + (k 2 − k 2 )  2( p − p ) 1
                                               0       1       0 =          0 1 −
                  2       2   p0 − 2 p1 +            p                  2     2      p
                                                                                          .
               k −k                                   0                k −k           0
                 0 1                                                    0 1
Примем
                                     σ = 0⇒ k = 0⇒ p = λ .
                                       1            1             1
При сделанных предположениях


                                                     56