Математическое моделирование в геоэлектрике. Часть I. Слоистые модели среды. Юдин В.М - 57 стр.

            p −p        2( p − λ ) λ
            λ0 1 =λ
          p p +p  (      k
                            0
                             )
                           2 − k2
                                  −
                                    p
                                     0
                                       =
                                         k
                                             2
                                           2 − k2
                                                  λ p0 − p02 + k02 − (
                                                                     λ
                                                                     p
                                                                      0
                                                                        .             )
           0 0 1          0 1             0 1
После таких преобразований интегралы, посредством которых представляется
компонента A , могут быть выражены через элементарные функции и
             x0
модифицированные функции Бесселя. Действительно,
  ∞                              ∞  2                                     
                                                                       λ  − p0 (h0 − z )
                                                   (                 )
           p z                                             2    2
   ∫ λ C0e  0   J (λr ) d λ = ∫                   λ p0 − p0 + k0 − e                       J ( λr ) dλ =
                  0                      2     2                       p                       0
   0                              0  k0 − k1                           0 
                 2                  3                            
             2  ∂ S (ς , k0 ) ∂ Φ(ς , k0 ) 2 ∂Φ(ς , k0 ) 
         =
             2          2
                                +
                                            3
                                                   −k
                                                      0     ∂ς     − S (ς , k0 ), ς := h0 − z.
            k  ∂ς                      ∂ς                        
             0
                                                                                                 (2.1.2.24)
Итак, компонента A в области z < 0 может быть рассчитана по формуле:
                         x0
                     Iµ
                            {
             A = 0 S (| h + z |, k ) − S (ς , k ) +
              x0 4π                0         0         0 0
                    2                     3                                
                2  ∂ S (ς 0 , k0 ) ∂ Φ(ς 0 , k0 ) 2 ∂Φ(ς 0 , k0 )  
            +                        +                 −k
                                                           0     ∂ς           ,ς 0 = h0 − z.
              k 2  ∂ς 2                     ∂ ς  3
                                                                     0       
                0         0                     0                             
Если источник в земле на глубине h0 в полупространстве с волновым числом k1,
то для получения аналога последней формулы нужно сделать замену k0 на k1 и z
на –z. В результате получим:
                       Iµ
                             {
              A = 0 S (| h − z |, k ) − S (ς , k ) +
                x1 4π               0         1        1 1
                      2                   3                              
                  2  ∂ S (ς1, k1) ∂ Φ(ς1, k1) 2 ∂Φ(ς1, k1)  
              +
                  2           2
                                       +
                                                  3
                                                        −k
                                                          1     ∂ς          ,ς1 := h0 + z.
                k  ∂ς                        ∂ς                   1  
                  1        1                    1
Компонента Ах вектор-потенциала на постоянном токе равна
                                          Iµ 1
                        Ax (r , z, h) =            , R− = x 2 + y 2 + ( z − h)2 .
                                          4π R−
 В. Компонента A в области z < 0. Полагая σ = 0 и p = λ ,
                        x0                                      1             1
                                                
                                                
                                                            k2         
                               V (0) = 0, λ  p V (0) +      1  X (0)  =
                                 1                 11       λ 1
                                                              2
                                                                       
                       X ′ (0)       −p h             −p h
                      λ 1 =−
                        λ2
                                 2
                               p +λ
                                    e 0 0 =−
                                              2
                                                p −λ e 0 0,
                                             k2 0
                                                                 (            )
                                0                            0




                                                       57