Математическое моделирование в геоэлектрике. Часть I. Слоистые модели среды. Юдин В.М - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

60
0
(, ,) (| |, ) ( , )
10111
4
23
(,) (,) (,)
2
111 11 11
1
23
2
1
11
2
23
(| |, )
(,) (,)
01
11111
.
222
2
22
1
Ii
Exyz Shzk S k
x
ISk k k
k
Sh zk
ISkk
xxx
µ
ω
ς
π
ρς ς ς
πς
ςς
ρςς
π
ς













=−−−
∂∂Φ∂Φ
−+−+
∂
∂∂
∂−
∂∂Φ
+−−
∂∂∂∂
(2.1.27)
Отметим
2
0
11
422
Ii
kI
µω
ρ
π
π
=−
22
3
(| |, ) ( , )
(,)
01 01
111
(, ,)
1
22 2
1
Sh zk Sh zk
Ik
Exyz
y
xy xy xy
ρς
πς
∂− ∂+
∂Φ
=−−
∂∂ ∂∂ ∂∂∂
, (2.1.28)
32
(,) (,)
111 11
(, ,)
1
2
2
2
23
(| |, )
(,) (,)
01
11111
.
2
22 2
IkSk
Exyz
z
xz
xz
Sh zk
ISkk
xz xz
xz
ρς ς
π
ρςς
π





∂Φ ∂
=++
∂∂
∂∂
∂−
∂∂Φ
+−−
∂∂ ∂∂
∂∂
После преобразований получим
2
2
(| |, )
(,)
01
111
(, ,)
1
4
Sh zk
ISk
Exyz
z
xz xz
ρς
π
∂−
∂
=+
∂∂ ∂∂
. (2.1.29)
Найдем производные, необходимые для вычисления электрических полей
222
(, ) 3 1
2
5
23
Szk kR k R kR
x
R
xR
∂+++
=−
∂
,
222
(, ) 3
5
Szk kR k R
xy
xy
R
∂++
=
∂∂
.
Далее
(
)
(
)
1
11
10 01
2
1
11.
10 01 10 01
3
2
k
zz
IK I K
xz x R R
k
xz z z
IK I K IK I K
Rx Rx
R


 
 

 



 


 


 


∂∂Φ ∂
=−−++ =
∂∂ ∂
∂∂
− − +− ++
∂∂
С учетом правил вычисления производных от модифицированных бесселевых
функций
, () () ()/; , () () ()/
011 0 1 0 11 0 1
I I Ix I x Ix xK K Kx K x Kx x
′′ ′ ′
==− =− =−−
найдем 
                                  I µ iω
                E ( x, y, z ) = 0  S (| h − z |, k ) − S (ς , k )  −
                 x1                 4π         0       1      1 1
                 I ρ  ∂ 2 S (ς , k ) ∂3Φ(ς , k ) 2 ∂Φ(ς , k ) 
                − 1             1 1 +           1 1 −k          1 1 +
                                                                                              (2.1.27)
                  2π        ∂ς   2            ∂ς  3        1   ∂ς
                              1               1                1     

                 I ρ  ∂ 2 S (| h0 − z |, k1) ∂ 2 S (ς , k ) ∂3Φ(ς , k ) 
                + 1                          −        1 1 −        1 1 .
                                                                           
                  2π            2∂x  2              2∂x 2         2
                                                                ∂x ∂ς 
                                                                     1 
Отметим
                                        I µ iω        2
                                           0 = − k1 I ρ1
                                          4π         2 2π
                        I ρ  ∂ 2 S (| h − z |, k ) ∂ 2 S (h + z, k ) ∂3Φ(ς , k ) 
         E ( x, y, z ) = 1              0        1 −        0      1 −     1 1 , (2.1.28)
          y1            2π           2∂x∂y                2∂x∂y        ∂x∂y∂ς 
                                                                              1 

                                 I ρ  ∂3Φ(ς , k ) ∂ 2 S (ς , k ) 
                  E ( x, y, z ) = 1         1 1 +          1 1 +
                   z1            2π       ∂x∂z 2        ∂x∂z 
                                                                    

                   I ρ  ∂ 2 S (| h − z |, k ) ∂ 2 S (ς , k ) ∂3Φ(ς , k ) 
                  + 1              0        1 −        1 1 −       1 1 .
                   2π            2∂x∂z            2∂x∂z                    
                                                                 ∂x∂z 2          
                         
После преобразований получим
                                      I ρ  ∂ 2 S (| h − z |, k ) ∂ 2 S (ς , k ) 
                       E ( x, y, z ) = 1              0        1 +        1 1 .               (2.1.29)
                        z1            4π             ∂x∂z             ∂x∂z 
                                                                                     
Найдем производные, необходимые для вычисления электрических полей
                       ∂ 2 S ( z, k )        3 + kR + k 2 R 2 1 + kR
                                      = x2                    −        ,
                           ∂x 2                     R5             R3
                             ∂ 2 S ( z, k )       3 + kR + k 2 R 2
                                            = xy                   .
                                 ∂x∂y                   R 5
Далее
          ∂  ∂Φ      k ∂  z                         z          
                 = −  1
                                 1 −  I K + 1 +  I K  =
         ∂x  ∂z      2 ∂x   R  1 0  R  0 1 
           k  xz
         − 1   I K − I K  + 1 − 
                                               z ∂
                                                     (       )
                                                       I K +  1 + 
           2  R3  1 0 0 1   R  ∂x 1 0  R  ∂x 0 1 
                                                                      z ∂
                                                                             (
                                                                               
                                                                          I K  .         )
С учетом правил вычисления производных от модифицированных бесселевых
функций
       I ′ = I , I ′ ( x) = I ( x) − I ( x) / x; K ′ = − K , K ′ ( x) = − K ( x) − K ( x) / x
        0 1 1                0        1           0       1 1              0        1
найдем

                                                60

Страницы