Математическое моделирование в геоэлектрике. Часть I. Слоистые модели среды. Юдин В.М - 61 стр.

                        ∂
                       ∂x ( I K =
                             1   0)   (kx
                                       2R    0  0  )
                                            I K −I K −
                                                    1  1
                                                               x
                                                                      I K ,
                                                           R( R − z ) 1 0

                      (∂
                      ∂x    0 )
                           I K =−
                                1
                                        kx
                                        2R(  I K −I K −
                                              0  0   1 )1
                                                                x
                                                                       I K .
                                                            R( R + z ) 0 1
Подстановка последних соотношений и простые преобразования дают
                   k  xz                      kx
   ∂  ∂Φ 
               = −  1   I K − I K  + 1  I K − z I K  − x  I K + I K   ,
   ∂x  ∂z      2  R3  1 0 0 1 R  1 1 R 0 0  R 2  1 0 0 1 
                                                                  2
          ∂  ∂Φ  k1x  z                                  k1 xz
                     =          1−
                                                
                                         I K + 1+
                                                     z
                                                        I K +(
          ∂x  ∂z  2 R 2  R  1 0  R  0 1  2 R2 0 0 1 1         )
                                                                         I K −I K .

Сопоставляя последнюю формулу с производной ∂Φ / ∂z , получаем
                                                     2
                                           x ∂Φ k1 xz
                          ∂  ∂Φ 
                          ∂x  ∂z 
                                      =−          +(           )
                                                          I K −I K .
                                          R 2 ∂z 2 R 2 0 0 1 1
Так как х и у входят в функцию ∂Φ / ∂z одинаково, то сразу можем записать
                                           2
                                     y ∂Φ k1 yz
                      ∂  ∂Φ 
                     ∂y  ∂z 
                                 =−      +         (
                                                I K −I K .
                                    R2 ∂z 2 R2 0 0 1 1
                                                               )
     Если использовать интегральное представление производной и
воспользоваться вариантами интеграла Фока, то можно получить
                    ∂ 2  ∂Φ  1  2 x 2  ∂ 2Φ x 2  2 ∂Φ ∂3Φ 
                              = 1 − 2  ∂r∂z + 2  k ∂z − 3  ,
                   ∂x 2  ∂z  r        r           r         ∂z 
                       ∂ 2  ∂Φ          xy ∂ 2Φ xy  2 ∂Φ ∂3Φ 
                                    = − 2          +       k   −      .
                      ∂x∂y  ∂z        r 3 ∂r ∂z r 2    ∂z ∂z3 
                                                                    
     Приведенные формулы позволяют рассчитать электрические поля,
создаваемые горизонтальным электрическим диполем, погруженным в нижнее
полупространство на глубину h0 от поверхности земли.
     Отметим, что при h0 = 0 легко убедиться, что расчеты по общим формулам
(2.1.27) – (2.1.29) совпадают с вычислениями по более простым формулам
(2.1.2.20) – (2.1.2.21)

    5. Поле погруженного электрического диполя с постоянным током в
                       нижнем полупространстве

     При ω = 0 приведенные выше формулы существенно упрощаются.
Компоненты вектор-потенциала в полупространстве с источником имеют вид
[Кауфман, 1997]:
                                    1                     x z+h
                 A ( x, y, z ) = q    , A ( x, y, z ) = −q 1 −     .
                  x1               R− z1                  r     R+ 
  Скалярный потенциал равен:



                                              61