Введение в вейвлет-анализ. Юдин М.Н - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

15
Система функций
{
}
Z
∈
nt
na
,)(
,
ϕ
является ортонормированным
базисом в
)(
2
RL , поэтому коэффициенты ряда Фурье по этой
системе функций равны
()
dtttfttfanf
nana
)()()(),(/
,,
ϕϕπ
∫
∞
∞−
>==<
и совпадают с дискретными значениями функции )(
t
f
в точках
an /
π
.
Отметим, что преобразование Фурье sinc-функции равно
≥
<
=
a
a
atF
||:0
||:1
)}{sinc(
ω
ω
(2.4)
Это проиллюстрировано на рисунке 2.3(a). Фазовая плоскость
покрыта вытянутыми параллельно оси частот столбиками.
На рисунке 2.3(b) показана проекция тестового сигнала на
фазовую плоскость в sinc-базисе. Как видно из рисунка,
представление не дает никакой дополнительной информации
помимо поведения сигнала во временной области. Например, мы
ничего не можем узнать о частотах, на которых происходили
изменения.
Рис. 2.3. (a) Частотно-временное представление sinc-базиса,
(b)
Частотно-временное представление тестового сигнала
в sinc-базисе, (c) тестовый сигнал. 
Система функций      {ϕ   a ,n   (t )}, n ∈ Z   является ортонормированным
              2
базисом в L ( R ) , поэтому коэффициенты ряда Фурье по этой
системе функций равны
                                                 ∞

      f (πn / a ) =< f (t ), ϕ a , n (t ) >=     ∫ f (t )ϕ   a ,n   (t )dt
                                                 −∞
и совпадают с дискретными значениями функции f (t ) в точках
πn / a .
      Отметим, что преобразование Фурье sinc-функции равно
                            1 : | ω |< a
            F {sinc(at )} =                                                 (2.4)
                            0 : | ω |≥ a
Это проиллюстрировано на рисунке 2.3(a). Фазовая плоскость
покрыта вытянутыми параллельно оси частот столбиками.
     На рисунке 2.3(b) показана проекция тестового сигнала на
фазовую плоскость в sinc-базисе. Как видно из рисунка,
представление не дает никакой дополнительной информации
помимо поведения сигнала во временной области. Например, мы
ничего не можем узнать о частотах, на которых происходили
изменения.




      Рис. 2.3. (a) Частотно-временное представление sinc-базиса,
       (b) Частотно-временное представление тестового сигнала
           в sinc-базисе, (c) тестовый сигнал.




                                                                                15

Страницы