Введение в вейвлет-анализ. Юдин М.Н - 17 стр.

                    ∞                     ∞
                                      1        )     2      1 )       )
                    ∫                     ∫
                             2
 f (t ), f (t ) =        f (t ) dt =           f (ω ) dω =    f (ω ), f (ω )
                    −∞
                                     2π   −∞
                                                           2π
                                                                               (2.10)

           2.3. Оконное преобразование Фурье
     При анализе сигналов преобразование Фурье является
хорошим инструментом для определения изменений частотного
спектра сигнала, но ничем не может помочь при оценке времени их
изменения. Помимо этого, его базисные функции – синусы и
косинусы – имеют бесконечный носитель (т.е. отличны от нуля на
всей числовой прямой). Это приводит к невозможности
обнаружения отдельных особенностей в сигнале и только
глобальные изменения улавливаются достаточно хорошо. Один из
возможных путей устранения этого недостатка преобразования
Фурье – разделение временной оси с использованием т.н. оконной
функции. Преобразование Фурье оконной версии сигнала дает
возможность связать частотный спектр с частью сигнала,
локализованной в окне.
     Рассмотрим функцию окна γ(t) определенной ширины и
амплитуды, которая быстро убывает к границам окна. Оконное
преобразование Фурье состоит в умножении сигнала f(t) на функцию
окна   γ (t ) ,   сосредоточенную вокруг t = 0, и вычислении
коэффициентов Фурье произведения                     f (t )γ (t ) ,   где   γ (t )   –
функция, комплексно сопряженная                   γ (t ) . Эти
                                                коэффициенты
определяют спектр функции f(t) в окрестности t = 0. Затем эта
процедура повторяется со сдвинутыми вариантами оконной
функции, то есть γ (t ) заменяется на γ (t − τ ) , где τ – шаг по оси
времени. Преобразование Фурье этого произведения имеет вид:
                             ∞

            c(ω ,τ ) :=      ∫ [ f (t )γ (t − τ )]e
                                                      −iωt
                                                             dt                (2.11)
                            −∞

Обозначим

                            γ ω ,τ (t ) := γ (t − τ )e iωt
Тогда формулу (2.11) можно переписать так



                                                                                     17