Введение в вейвлет-анализ. Юдин М.Н - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

16
В следующих разделах будут обсуждены другие типы
анализирующих функций. Прежде всего, будет представлена
непрерывное преобразование Фурье. Это преобразование разлагает
сигнал по гармоническим функциям. Во-вторых, будет
представленщ преобразование Gabor'a. Эта преобразование основано
на использовании анализирующих функций оконного
преобразования Фурье. Затем, мы перейдем к wavelet-
преобразованию и укажем его некоторые особенности в сравнении с
предыдущими преобразованиями.
2.2. Непрерывное преобразование Фурье
Преобразование Фурье состоит из разложения сигнала f(t) в
комбинацию гармонических функций (синусов и косинусов).
Синусы и косинусы объединены в комплексной показательной
функции согласно формуле Эйлера:
titet
ti
ω
ω
φ
ω
ω
cossin:)(
+
=
=
(2.6)
Используя формулу (2.6) и определение скалярного
произведения (1.1), можно определить разложение сигнала f(t) по
гармоническим функциям посредством преобразования Фурье.
Преобразование Фурье определяется отображением
)()(:
22
RLRL →F , которое функции f(t) ставит в соответствие
функцию
)(
ω
f
)
dtetfetffFf
titi
∫
+∞
∞−
−
===
ωω
ω
)(),()(:)(
)
(2.7)
Формула обращения преобразования Фурье имеет вид:
ωω
π
ωφω
ω
defftf
ti
t
∫
+∞
∞−
== )(
2
1
)(),(:)(
))
(2.8)
Анализирующие функции в обеих областях связаны равенством:
)(
2
1
)( t
t
ω
φ
π
ωφ
= (2.9)
Квадраты норм сигнала и его спектра (другими словами, их
мощности) связаны равенством Планшереля (см. формулы (1.7)-
(1.8)): 
     В следующих разделах будут обсуждены другие типы
анализирующих функций. Прежде всего, будет представлена
непрерывное преобразование Фурье. Это преобразование разлагает
сигнал по гармоническим функциям. Во-вторых, будет
представленщ преобразование Gabor'a. Эта преобразование основано
на    использовании    анализирующих        функций     оконного
преобразования Фурье. Затем, мы перейдем к wavelet-
преобразованию и укажем его некоторые особенности в сравнении с
предыдущими преобразованиями.


      2.2. Непрерывное преобразование Фурье
     Преобразование Фурье состоит из разложения сигнала f(t) в
комбинацию гармонических функций (синусов и косинусов).
Синусы и косинусы объединены в комплексной показательной
функции согласно формуле Эйлера:

               φω (t ) := e iωt = sin ωt + i cosωt                     (2.6)

     Используя формулу (2.6) и определение скалярного
произведения (1.1), можно определить разложение сигнала f(t) по
гармоническим функциям посредством преобразования Фурье.
Преобразование       Фурье      определяется     отображением
F : L2 ( R ) → L2 ( R ) , которое функции f(t) ставит в соответствие
           )
функцию f (ω )

                                               +∞
           )
           f (ω ) := F ( f ) = f (t ), e iωt
                                             = ∫ f (t )e −iωt dt       (2.7)
                                                 −∞


Формула обращения преобразования Фурье имеет вид:
                                                 +∞
                   )                  1               )
         f (t ) := f (ω ),φ t (ω ) =
                                     2π          ∫
                                                 −∞
                                                      f (ω )e iωt dω   (2.8)

Анализирующие функции в обеих областях связаны равенством:
                                    1
                      φ t (ω ) =      φω ( t )                         (2.9)
                                   2π
Квадраты норм сигнала и его спектра (другими словами, их
мощности) связаны равенством Планшереля (см. формулы (1.7)-
(1.8)):


                                                                          16

Страницы