Введение в вейвлет-анализ. Юдин М.Н - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

19
∫
∫
∞+
∞−
+∞
∞−
=
ωωγ
ωωγω
ω
d
d
2
2
|)(|
|)(|
:
)
)
(2.16)
Величины t и
ω
называются центрами оконной функции.
Произведение двух радиусов удовлетворяет неравенству:
2
1
≥∆∆
ω
t
, (2.17)
причем равенство имеет место только для гауссовой функции
)0(,
2
1
:)(
4
2
>=
−
α
πα
γ
α
α
t
et (2.18)
и функций вида
),( btce
ti
−
α
α
γ
(с ≠ 0, a и b – вещественные параметры).
Неравенство (2.17) говорит о том, что невозможно
одновременно точно определить t и
ω
, но только с некоторой долей
неопределенности. Это утверждение тесно связано принципом
неопределенности Гейзенберга, и это – важное утверждение теории
информации (Gabor, 1946; Шеннон, 1993).
Непрерывное изменение параметров
τ
и
ω
определяет сигнал
f(t) полностью, но ведет к очень избыточному его представлению.
Выполним дискретизацию по
τ
и
ω.
Отметим, что дискретизация
относительно
τ
и
ω
не обязательно подразумевает дискретизацию по
t. Положим
00
,
ω
ω
τ
τ
mn =
=
, n, m ∈ Z. Тогда формула (2.11' )
перепишется в виде:
dtttftfc
nmnmnm
)()()(,:
,,,
γγ
∫
∞
∞−
==
, и
tim
nm
entt
0
)(:)(
0,
ω
τ
γ
γ
−
=
Теперь рассмотрим временную и частотную области. Между
двумя этими областями имеет место подобие, которое можно
схематически записать так: 
                           +∞
                                        )
                           ∫ ω | γ (ω ) |             dω
                                                 2


                   ω :=    −∞
                            +∞
                                  )                                                    (2.16)
                              ∫ | γ (ω ) | dω
                                          2

                              −∞

Величины t и ω называются центрами оконной функции.
Произведение двух радиусов удовлетворяет неравенству:

                                            1,
                          ∆ t ∆ω ≥                                                     (2.17)
                                            2
причем равенство имеет место только для гауссовой функции
                                  t2
                   1          −
    γ α (t ) :=           e       4α
                                       , (α > 0)                                       (2.18)
                  2 πα
и функций вида
                                   ce iαt γ α (t − b),
(с ≠ 0, a и b – вещественные параметры).
       Неравенство (2.17) говорит о том, что невозможно
одновременно точно определить t и ω, но только с некоторой долей
неопределенности. Это утверждение тесно связано принципом
неопределенности Гейзенберга, и это – важное утверждение теории
информации (Gabor, 1946; Шеннон, 1993).
       Непрерывное изменение параметров τ и ω определяет сигнал
f(t) полностью, но ведет к очень избыточному его представлению.
Выполним дискретизацию по τ и ω. Отметим, что дискретизация
относительно τ и ω не обязательно подразумевает дискретизацию по
t. Положим τ = nτ 0 , ω = mω 0 , n, m ∈ Z. Тогда формула (2.11' )
перепишется в виде:
                                                     ∞

            cm ,n := f , γ m ,n (t ) =
                                                 −∞
                                                     ∫ f (t )γ   m ,n   (t )dt ,   и

                       γ m ,n (t ) := γ (t − nτ 0 )e imω t              0




     Теперь рассмотрим временную и частотную области. Между
двумя этими областями имеет место подобие, которое можно
схематически записать так:


                                                                                           19

Страницы