Введение в вейвлет-анализ. Юдин М.Н - 20 стр.

                             →
                               F

         γ (t − nτ 0 )e imω t F 0
                                 γ) (ω − mω 0 )e − imω t
                                           −1
                                                                            0
                                                                                  (2.12)
                             ←
Временная ось разбивается на интервалы с шагом τ0, а ось частоты –
на интервалы со смещением ω0.

      Восстановление (реконструкция) сигнала
      Из формулы (2.11) имеем:
                                                   ∞
                                      1
                  f (t )γ (t − τ ) =               ∫    ω  τ    iωt
                                                     c (  ,  )e     dt
                                     2π           −∞


Находить функцию f(t) путем деления на γ (t − τ ) нельзя, т.к. она
может принимать значения, равные нулю. Поэтому умножим обе
части равенства на γ (t − τ ) и проинтегрируем по τ:

         +∞                                            +∞

          ∫   f ( t ) γ ( t − τ ) dτ ≡ f ( t ) ∫ γ ( t − τ ) d τ =
                                     2                                  2

         −∞                                            −∞
                   +∞ ∞
            1
                      ∫   ∫    ω   τ  γ       τ        dωdτ
                                                   iωt
         =                  c (  ,   )  ( t −   )e
           2π      − ∞− ∞


Следовательно, формула обращения оконного преобразования
Фурье принимает вид:

                            +∞ ∞
                  1
                            ∫   ∫    ω  τ  γ       τ        dωdτ ,
                 −1                                     iωt
      f (t ) = C                  c (  ,  )  ( t −   )e                         где
                 2π         − ∞− ∞

                                         C :=|| γ ||2 ,
или

                                         +∞ ∞
                             1
              f (t ) = C −1
                            2π           ∫ ∫ c(ω ,τ )γ
                                         − ∞− ∞
                                                            ω ,τ   (t )dωdτ ,

причем

                                                                                      20