Введение в вейвлет-анализ. Юдин М.Н - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

21
2
,
2
||||)()(
)()(,||||:
τω
ωω
γτγιγ
τγιγγγγ
∫
∫
∞
∞−
∞
∞−
=−−=
=−−>==<=
dtetet
dtttC
titi
Итак, прямое и обратное оконное преобразование Фурье имеет
вид:
,)()(),(
,
dtttfc
τω
γτω
∫
∞
∞−
=
,)(),(
2
1
)(
,
1
∫∫
+∞
∞−
∞
∞−
−
=
τωγτω
π
τω
ddtcCtf
2
||||:
γ
=C
2.4. Преобразование Габора
Соответствующее преобразование описано в работе Gabor'a
(1946), а применения сейсмике (теория баланса) обсуждены в работе
Raz (1987).
Если в формуле (2.11) в качестве γ взять гауссову функцию
(2.18), то получится непрерывное преобразование Габора.
Для гауссова сигнала (формула (2.18)) неравенство (2.17)
превращается в равенство. Эта оптимальная связь между двумя
областями делает гауссов сигнал идеальным кандидатом для работы
с окнами на оси времен и частот.
Будем использовать эту функцию в качестве оконной:
tim
nt
tim
nm
eeentt
0
2
0
0
4
)(
0,
2
1
)(:)(
ω
α
τ
ω
πα
τγγ
−
−
=−= (2.19)
График функции
tix
eet
5
0,5
2
)(
−−
=
γ
изображен на рис. 2.4. Жирной
линией показана действительная часть, тонкой линией – мнимая
часть, пунктиром - экспоненты
2
x
e
−
±
. 
                                                     ∞

           C :=|| γ || =< γ , γ >= ∫ γ (t − ι )γ (t − τ )dt =
                        2

                                                    −∞
              ∞

           = ∫ γ (t − ι )e iωt γ (t − τ )e iωt dt = || γ ω ,τ ||2
             −∞


       Итак, прямое и обратное оконное преобразование Фурье имеет
вид:

                                       ∞

                       c(ω ,τ ) =      ∫ f (t )γ
                                      −∞
                                                              ω ,τ    (t )dt ,
                            +∞ ∞
                        1
       f (t ) = C −1
                       2π   ∫ ∫ c(ω ,τ )γ
                            − ∞− ∞
                                                         ω ,τ     (t )dωdτ , C :=|| γ ||2


                  2.4. Преобразование Габора
      Соответствующее преобразование описано в работе Gabor'a
(1946), а применения сейсмике (теория баланса) обсуждены в работе
Raz (1987).
       Если в формуле (2.11) в качестве γ взять гауссову функцию
(2.18), то получится непрерывное преобразование Габора.
      Для гауссова сигнала (формула (2.18)) неравенство (2.17)
превращается в равенство. Эта оптимальная связь между двумя
областями делает гауссов сигнал идеальным кандидатом для работы
с окнами на оси времен и частот.
      Будем использовать эту функцию в качестве оконной:
                                                                                 ( t − nτ 0 ) 2
                                                                  1          −
   γ m ,n (t ) := γ (t − nτ 0 )e imω t =    0
                                                                         e            4α
                                                                                                  e imω t
                                                                                                       0
                                                                                                            (2.19)
                                                         2 πα
График функции γ 5, 0 (t ) = e e
                                     − x2       −i 5 t
                                 изображен на рис. 2.4. Жирной
линией показана действительная часть, тонкой линией – мнимая
                                                          2
часть, пунктиром - экспоненты               ± e−x             .




                                                                                                                21

Страницы