Введение в вейвлет-анализ. Юдин М.Н - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

28
длину 2
ω
∆ . Этот прямоугольник в случае преобразования Габора с
α
γ
γ
= будет
t
∆
=
2/1
α
,
ω
∆
=
2/1
/1
α
.
Для функции
τσ
ψ
,
частотно-временной прямоугольник имеет
вид (рис. 3.7.):
]//,//[],[
)(
,
σσωσσωσστσστ
ψ
ωω
τσ
∆+∆−×∆++∆−+
=
Π
tt
tt
где
t
t
∆, и
ω
ω
∆, определяются так же, как для функции
γ
(с заменой
γ
на
τσ
ψ
,
). Для прямоугольника )(
,
τσ
ψ
имеем:
),(
ω
σ
τ
t
+ - центр, 2
t
∆
σ
-ширина, 2
σ
ω
/
∆
- высота,
4
ω
∆∆
t
- площадь. Ширина прямоугольника )(
,
τσ
ψ
Π
сужается для высоких частот (
σ
> 0 - мало) и расширяется
для низких частот (
σ
> 0 - велико).
Формула обращения
Восстановим функцию f(t) по ее непрерывному вейвлет-
преобразованию (CWT)
),)((
τ
σ
ψ
fW . Отправной точкой для этого
является равенство Парсеваля:
)(),(
2
1
)(),(
,,
ωψω
π
ψ
τστσ
)
)
fttf =
где
)(||
||
1
)(
,
σωψσ
σ
τ
ψ
σ
ω
ψ
ωτ
τσ
))
i
e
t
F
−
=
−
=
(3.4)
Таким образом, (3.3) принимает вид:
ωσωψω
π
σ
τσ
ωτ
ψ
deffW
i
)()(
2
||
),)((
)
)
∫
∞
∞−
= ,
(3.5)
где
σ
играет роль параметра. Эту формулу можно трактовать как
обратное преобразование Фурье произведения функций
)()(
σωψω
)
)
f . Применяя прямое преобразование Фурье по
переменной
τ
к обеим частям последнего равенства, получим: 
               длину 2 ∆ ω . Этот прямоугольник в случае преобразования Габора с
                    γ = γ α будет ∆ t =α 1 / 2 , ∆ ω =1 / α 1 / 2 .
     Для   функции ψ σ ,τ частотно-временной прямоугольник               имеет
вид (рис. 3.7.):
      Π (ψ σ ,τ ) =
      [τ + σt − σ∆ t ,τ + σt + σ∆ t ] × [ω / σ − ∆ ω / σ , ω / σ + ∆ ω / σ ]

где   t , ∆t ω , ∆ ω определяются так же, как для функции γ
               и
(с заменой γ на ψ σ ,τ ). Для прямоугольника Π (ψ σ ,τ ) имеем:
(τ + σt , ω ) - центр, 2 σ∆ t -ширина, 2 ∆ ω / σ - высота,
4 ∆ t ∆ ω - площадь. Ширина прямоугольника Π (ψ σ ,τ )
сужается для высоких частот ( σ > 0 - мало) и расширяется
для низких частот ( σ > 0 - велико).

                             Формула обращения
     Восстановим функцию f(t) по ее непрерывному вейвлет-
преобразованию (CWT) (Wψ f )(σ ,τ ) . Отправной точкой для этого
является равенство Парсеваля:

                                             1 )       )
                       f (t ),ψ σ ,τ (t ) =    f (ω ),ψ σ ,τ (ω )
                                            2π
где
                                   1         t − τ 
                                         ψ 
                   )                                            −iωτ )
               ψ σ ,τ (ω ) = F                       = | σ |e ψ (σω )
                                   | σ |  σ 
                                                                           (3.4)

Таким образом, (3.3) принимает вид:
                                |σ | )
                                            ∞
                                              iωτ )
               (Wψ f )(σ ,τ ) =     ∫
                                2π −∞
                                      f (ω )e    ψ (σω )dω ,
                                                         (3.5)
где σ играет роль параметра. Эту формулу можно трактовать как
обратное   преобразование    Фурье    произведения   функций
)      )
f (ω )ψ (σω ) . Применяя прямое преобразование Фурье                         по
переменной τ к обеим частям последнего равенства, получим:


                                                                              28

Страницы