Введение в вейвлет-анализ. Юдин М.Н - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

29
=
∫
+∞
∞−
−
ττσ
ωτ
ψ
defW
i
),)((
)()(||
σωψωσ
)
)
f
(3.6)
Если теперь выразить отсюда
)(
ω
f
)
, то функция f(t) будет
найдена. Мы не можем просто разделить на
)(
σω
ψ
)
, т.к. она может
быть равна нулю. Вместо этого умножим обе части равенства (3.6)
на
)(
σω
ψ
)
и проинтегрируем по положительным значениям
параметра
σ
. Однако, из-за добавки ||
σ
, необходимо будет
умножить еще на весовую функцию w(
σ
), которая пока неизвестна,
но будет определена в процессе реконструкции исходной функции.
Итак, имеем:
σσωψσσω
τσωψτσσσ
ωτ
ψ
dwf
de)f)((Wdw
i
2
0
0
|)(|||)()(
)(,)(
)
)
)
∫
∫∫
∞
∞+∞
∞−
−
=
=
(3.7)
Обозначим:
σσωψσσω
ψ
dwC
2
0
|)(|||)(:)(
)
∫
∞
+
=
> 0
и предположим, что
)(
ω
ψ
+
C и ее обратная величина ограничены
всюду, кроме, может быть, множества меры нуль:
0 <
∞
<
≤
≤
+
BCA )(
ω
ψ
Тогда из (3.7) найдем:
=)(
ω
f
)
=
∫∫
∞+∞
∞−
−
+
0
)(),)(()(
)(
1
τσωψτσσσ
ω
ωτ
ψ
ψ
defWdw
C
i
∫∫
∞+∞
∞−
+
=
0
,
)(),)((
||
1
)(
)(
1
τωψτσσ
σ
σ
ω
τσψ
ψ
dfWdw
C
)
Весовую функцию
()w
σ
выбирают таким образом, чтобы функции
я
()C
ψ
+
была константой. Полагая
()CCconst
ω
ψψ
+
+
==
, функция f(t)
может быть восстановлена посредством обратного Фурье-
преобразования: 
             +∞                       )       )
                                | σ | f (ω )ψ (σω )
               ∫ (W ψ f )(σ ,τ )e dτ =
                                 − iωτ
                                                             (3.6)
           −∞
                                    )
     Если теперь выразить отсюда f (ω ) , то функция f(t) будет
                                            )
найдена. Мы не можем просто разделить на ψ (σω ) , т.к. она может
быть равна нулю. Вместо этого умножим обе части равенства (3.6)
    )
на ψ (σω ) и проинтегрируем по положительным значениям
параметра σ . Однако, из-за добавки                           |σ |,   необходимо будет
умножить еще на весовую функцию w(σ), которая пока неизвестна,
но будет определена в процессе реконструкции исходной функции.
Итак, имеем:
      ∞                       +∞
                                  )
      ∫    σ    σ ∫ ψ     σ   τ  ψ   σω           dτ =
                                            − iωτ
        w (  ) d   (W f)(   ,   )   (   ) e
      0                       −∞
                                                                                  (3.7)
                      ∞
        )                      )
      = f (ω ) ∫ w(σ ) | σ | |ψ (σω ) |2 dσ
                      0
Обозначим:
                                       ∞
                                       )
            Cψ (ω ) := ∫ w(σ ) | σ | |ψ (σω ) |2 dσ
                  +
                                                                          >0
                                        0

и предположим, что                     Cψ+ (ω )   и ее обратная величина ограничены
всюду, кроме, может быть, множества меры нуль:

                                   0 < A ≤ Cψ
                                                  +
                                                      (ω ) ≤ B < ∞
Тогда из (3.7) найдем:

                                   ∞              +∞
    )            1
    f (ω ) =           ∫
               Cψ (ω ) 0
                +
                         w(σ )dσ ∫ (Wψ f )(σ ,τ )ψ (σω )e−iωτ dτ =
                                 −∞
                          ∞                            +∞
          1              1                       )
       = +      ∫
        Cψ (ω ) 0
                  w(σ )      dσ
                        | σ | −∞∫ (Wψ f )(σ ,τ )ψ σ ,τ (ω )dτ

Весовую функцию w(σ ) выбирают таким образом, чтобы функции
я Cψ+ (ω ) была константой. Полагая Cψ+ (ω ) = Cψ+ = const , функция f(t)
может быть восстановлена посредством обратного Фурье-
преобразования:


                                                                                     29

Страницы