Введение в вейвлет-анализ. Юдин М.Н - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

30
=
=
∫∫
∞∞+
∞−
+
−
0
,
1
)(),)((
||
1
)(
)(
1
)(
τωψτσσ
σ
σ
ω
τσψ
ψ
dfWdw
C
Ftf
)
{
}
11
1
() ( )(,) ()
,
||
0
wdWfF d
C
σ
σστψωτ
στ
ψ
σ
ψ
∞+∞
−
=
∫∫
+
−∞
)
или
11
() ( ) ( )( , ) ()
,
||
0
f
twdWf td
C
σ
σστψτ
στ
ψ
σ
ψ
∞+∞
=
∫∫
+
−∞
Покажем, как выбрать весовую функцию w(
σ
)так, чтобы )(
ω
ψ
+
C
была константой. Этого можно достигнуть, если положить:
σ
σ
σσσ
d
dw
=||)(
, или
2
||
)(
σ
σ
σ
σ
σ
d
d
w
=
,
тогда
σσωψσσω
ψ
dwC
2
0
|)(|||)(:)(
)
∫
∞
+
= =
∫
∞
0
2
|)(|
σ
σ
σωψ
d
)
Замена переменной
σω
ξ
= дает:
()
ψ
ω
+ +
=CC= const
d
=
∫
∞
0
2
|)(|
ξ
ξ
ξψ
)
.
Формула обращения CWT примет вид:
∫∫
∞+∞
∞−
+
=
0
2
,
1
)(),)((
1
)(
τσ
σ
ψτσ
τσψ
ψ
ddtfW
C
tf . (3.8
1
)
Если в (3.7) выполнить интегрирование по интервалу
σ
∈ ),( +∞−∞
и потребовать выполнения равенства 
                   1 ∞               1
                                               +∞
                                                                   )                
                            ∫    σ           σ ∫           σ   τ  ψ         ω     τ
             −1
f (t ) = F         +         w (  )       d      (Wψ f )(   ,   )   σ ,τ (   ) d   =
                   C
                   ψ ( ω ) 0        | σ |     −∞                                   

           1 ∞              +∞
         = + ∫ w(σ )
          Cψ 0
                      1
                     |σ |
                                                    )
                          dσ ∫ (Wψ f )(σ ,τ ) F −1 ψ σ ,τ (ω ) dτ
                            −∞
                                                                 {            }
или

                    1 ∞        1     +∞
           f (t ) = + ∫ w(σ )      dσ ∫ (Wψ f )(σ ,τ )ψ σ ,τ (t )dτ
                   Cψ 0       | σ | −∞


Покажем, как выбрать весовую функцию w(σ)так, чтобы                               Cψ+ (ω )
была константой. Этого можно достигнуть, если положить:

                                     dσ                     w(σ )     dσ
         w(σ ) | σ |dσ =                  ,       или             dσ = 2          ,
                                     σ                       |σ |     σ
тогда

                    ∞                                                ∞
                                          )       )         dσ
   Cψ+ (ω ) := ∫ w(σ ) | σ | |ψ (σω ) |2 dσ = ∫ |ψ (σω ) |2
                    0                                                0
                                                                                      σ

Замена переменной ξ            = σω дает:
                                      ∞
                                              )         dξ
                                      ∫
                   Cψ+ (ω ) = C + = |ψ (ξ ) |                = const .
                                                    2
                                 ψ                      ξ
                                      0


Формула обращения CWT примет вид:
                        ∞ +∞
                 1                                           1
        f (t ) = +
                Cψ      ∫
                        0 −∞
                            ∫ (Wψ f )(σ ,τ )ψ σ ,τ (t )      σ   2
                                                                     dσdτ .           (3.81)


Если в (3.7) выполнить интегрирование по интервалу σ ∈ ( −∞,+∞ )
и потребовать выполнения равенства


                                                                                          30

Страницы