Введение в вейвлет-анализ. Юдин М.Н - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

33
−
=
j
k
j
n
t
t
j
0
0
0
,
||
1
:)(
0
0
σ
τ
ψ
σ
ψ
τσ
, (3.12)
что соответствует выбору
τ
= k
τ
0
.
Можно показать, что ортонормированный вейвлет-базис
получается, например, при
σ
0
= 2,
τ
0
= 1 (Daubechies, 1988). Это – так
называемая dyadic grid. Такой выбор для величин
σ
0
и
τ
0
ведет к
конструкции кратно разрешающего анализа, о котором будет
рассказано в следующем разделе.
3.3 Кратно разрешающий анализ
В этой разделе сосредоточим внимание на варианте WT с
понижением числа отсчетов. Будет рассмотрен частный класс
всплесков с параметрами
σ
0
= 2,
τ
0
= 1.
Масштабирующие функции )(x
ϕ
и
подпространства V
j
Последовательность {V
j
}
j ∈ Z
замкнутых подпространств в
L
2
(R) называется кратно разрешающим анализом (КРА), если:
1
0
. V
j
⊂
V
j+1
,
∀
j
∈
Z
3
,
2
0
.
U
Z∈j
j
V
= L
2
(R),
3
0
.
I
Z∈j
j
V = {0},
4
0
. f(
⋅
) ∈ V
j
⇔ f(2
⋅
) ∈ V
j+1
,
5
0
. f(
⋅
) ∈ V
0
⇔ f(
⋅
– k) ∈ V
0
, ∀ k ∈ Z,
6
0
. ∃ g ∈ V
0
: {g(
⋅
– k)}
k ∈ Z
– базис Рисса в пространстве V
0
.
Свойство 6
0
можно заменить на 6
0
′: ∃
ϕ
∈ V
0
: {
ϕ
(
⋅
– k)}
k ∈ Z
– ОНБ в
пространстве V
0
. Действительно, из формулы суммирования
Пуассона (1.14) следует, что система
{
}
Zk
k
∈
−
(.,
ϕ
ортонормированна в пространстве
L
2
(R) тогда и только тогда, когда
3
В некоторых работах можно встретить другой вариант определения: V
j+1
⊂ V
j
, ∀ j ∈ Z 
                                             1      t − kτ 0 
                   ψσ             (t ) :=         ψ          ,                   (3.12)
                                                       σ
                         j
                        0 ,nτ 0                           j
                                            |σ 0 | 
                                                j
                                                         0     
что соответствует выбору τ = kτ0.
      Можно показать, что ортонормированный вейвлет-базис
получается, например, при σ0 = 2, τ0 = 1 (Daubechies, 1988). Это – так
называемая dyadic grid. Такой выбор для величин σ0 и τ0 ведет к
конструкции кратно разрешающего анализа, о котором будет
рассказано в следующем разделе.

                                    3.3 Кратно разрешающий анализ
     В этой разделе сосредоточим внимание на варианте WT с
понижением числа отсчетов. Будет рассмотрен частный класс
всплесков с параметрами σ0 = 2, τ0 = 1.

                   Масштабирующие функции ϕ (x ) и
                        подпространства Vj
       Последовательность {Vj}j ∈ Z замкнутых подпространств в
    2
L (R) называется кратно разрешающим анализом (КРА), если:
10. Vj ⊂ Vj+1, ∀ j ∈ Z3,

20.     UV
        j ∈Z
               j   = L2(R),


30.     I V = {0},
        j∈ Z
               j



40. f(⋅) ∈ Vj ⇔ f(2⋅) ∈ Vj+1,
50. f(⋅) ∈ V0       ⇔ f(⋅ – k) ∈ V0, ∀ k ∈ Z,
60. ∃ g ∈ V0 : {g(⋅ – k)}k ∈ Z – базис Рисса в пространстве V0.

Свойство 60 можно заменить на 60′: ∃ ϕ ∈ V0 : {ϕ(⋅ – k)}k ∈ Z – ОНБ в
пространстве V0. Действительно, из формулы суммирования
Пуассона (1.14) следует, что система {ϕ (., − k }k ∈Z
ортонормированна в пространстве L2(R) тогда и только тогда, когда


3
    В некоторых работах можно встретить другой вариант определения: Vj+1 ⊂ Vj, ∀ j ∈ Z


                                                                                         33

Страницы