Введение в вейвлет-анализ. Юдин М.Н - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

35
Подпространства W
j
содержат детализирующую информацию
(detail information) при переходе от разрешения уровня j+1 к j. В
силу определения кратно-разрешающего анализа и формулы (3.15)
можно записать:
)(W
2
j
j
RL
Z
=
⊕
∈
.
Теорема
Для всякого КРА {V
j
}
j ∈ Z
существует такой всплеск
ψ
(t), что
система
Zj
k
∈
−⋅ )(
ψ
– ОНБ в W
0
. Более того, система функций
Zj
j
j
jk
k
∈
−⋅=⋅ )2(2:)(
2
ψ
ψ
является ОНБ в )(
2
RL .
Поскольку
ψ
является элементом подпространства V
1
, то
существует числовая последовательность {g
k
}
k∈Z
такая, что
)2(2)( kxgx
k
k
−=
∑
∈Z
ϕ
ψ
, (3.16)
Отметим, что в случае Хаара
ϕ
(x) = χ
[0, 1)
, h
0
= h
1
= g
0
=
2
1
, g
1
= –
2
1
, а
все остальные коэффициенты в формулах (3.13) и (3.16) равны нулю.
Таким образом, всплеск Хаара имеет вид
=
)(x
ψ
χ
[0, 1./2)
(x)–
χ
[1/2,, 1)
(x).
А в случае Котельникова-Шеннона масштабирующая функция и
всплеск определяются формулами
=
)(x
ϕ
sinc )(
t
π
,
=
)(
t
ψ
2sinc ))2/1(2(
−
t
π
– sinc ))2/1((
−
t
π
.
Для них
()
ω
=
)
χ
[-
π
,
π
)
(
ω
)
и
/2
() [( /2) ()]
i
e
ω
ψ
ωϕωϕω
−
=−
)
))
.
Ортогональные (ортонормированные) вейвлеты замечательны
тем, что существует очень быстрый алгоритм разложения по ним
любого сигнала! Этот алгоритм называется алгоритмом Малла.
Исходная информация для него – сигнал, что на практике означает
просто массив длины N.
Процедура такова: по исходной информации строятся два
сигнала (два массива длиной N/2). Первый – исходный сигнал,
сглаженный фильтром, соответствующим масштабирующей
функции (коэффициенты {h
k
}), и прореженный вдвое; второй –
исходный сигнал, обработанный wavelet-фильтром (коэффициенты
{g
k
}), и также прореженный вдвое. На языке кратно-разрешающего 
Подпространства Wj содержат детализирующую информацию
(detail information) при переходе от разрешения уровня j+1 к j. В
силу определения кратно-разрешающего анализа и формулы (3.15)
можно записать:
                             ⊕ Wj = L2 ( R ) .
                             j∈ Z
Теорема
Для всякого КРА {Vj}j ∈ Z существует такой всплеск ψ(t), что
система ψ (⋅ − k ) j∈Z – ОНБ в W0. Более того, система функций
              j

ψ jk (⋅) := 2 ψ ( 2 j ⋅ −k ) j∈Z
              2
                                     является ОНБ в                 L2 ( R ) .
     Поскольку ψ является элементом подпространства V1, то
существует числовая последовательность {gk}k∈Z такая, что

                   ψ ( x ) = ∑ g k 2ϕ ( 2 x − k ) ,                              (3.16)
                              k ∈Z

Отметим, что в случае Хаара ϕ(x) = χ[0, 1), h0 = h1= g0= 12 , g1 = – 12 , а
все остальные коэффициенты в формулах (3.13) и (3.16) равны нулю.
Таким образом, всплеск Хаара имеет вид
                   ψ (x ) = χ[0, 1./2) (x)– χ[1/2,, 1)(x).
А в случае Котельникова-Шеннона масштабирующая функция и
всплеск определяются формулами
                        ϕ (x ) = sinc (πt ) ,
          ψ (t ) = 2sinc ( 2π (t − 1 / 2)) – sinc (π (t − 1 / 2)) .
Для них
                                 )
                                ϕ (ω ) = χ[-π, π)(ω)
и
                         )                 )            )
                        ψ (ω ) = e− iω / 2 [ϕ (ω / 2) − ϕ (ω )] .
       Ортогональные (ортонормированные) вейвлеты замечательны
тем, что существует очень быстрый алгоритм разложения по ним
любого сигнала! Этот алгоритм называется алгоритмом Малла.
Исходная информация для него – сигнал, что на практике означает
просто массив длины N.
       Процедура такова: по исходной информации строятся два
сигнала (два массива длиной N/2). Первый – исходный сигнал,
сглаженный     фильтром,    соответствующим    масштабирующей
функции (коэффициенты {hk}), и прореженный вдвое; второй –
исходный сигнал, обработанный wavelet-фильтром (коэффициенты
{gk}), и также прореженный вдвое. На языке кратно-разрешающего


                                                                                     35

Страницы