Введение в вейвлет-анализ. Юдин М.Н - 36 стр.

анализа первый сигнал – более грубая версия исходного, т.е. его
проекция на подпространство V-1. Второй – различия между
версиями сигнала на разных масштабах, т.е проекция на
подпространство W-1. Далее та же процедура применяется к
сглаженному сигналу. Возникают два массива длиной N 4 , и т.д.
Результат работы алгоритма – набор высокочастотных деталей плюс
самая сглаженная (т.е. самая грубая) версия исходного сигнала.
Суммарная длина этих массивов равна N.
      Процесс восстановления использует транспонированные (если
записать процесс разложения в матричном виде) фильтры {hk} и
{gk}. На каждом шаге размерность массива, представляющего самую
грубую версию сигнала, удваивается. В обратном порядке
восстанавливаются его сглаженные версии, пока в конце концов не
получится исходный сигнал.
      К моменту создания теории кратно-разрешающего анализа
(осень 1986 года) было несколько примеров ортогональных
вейвлетов, более гладких, чем вейвлет Хаара. Найти их не так
просто. Считается, что первый пример построил Ян Стромберг (Jan-
Olov Stromberg) из университета Тромсе в Норвегии. Но у этих
примеров был один практический недостаток: набор коэффициентов
был бесконечным. Разумеется, коэффициенты с большими номерами
были очень малы, но тем не менее…
      В 1987 году Ингрид Добеши (Ingrid Daubechies) из
Принстонского университета в США первой построила
ортогональные всплески, которым соответствуют конечные
фильтры. И не просто отдельные примеры: Добеши нашла
бесконечную серию ортогональных вейвлетов, исходя из все того же
базиса Хаара! Именно после ее работы и начался взрыв
популярности всплесков в математике.
      Теперь, когда есть коэффициенты фильтров {hk} и {gk},
всевозможные сигналы можно раскладывать по различным базисам,
пользуясь алгоритмом Малла, который на математическом языке
выглядит так:

                 skj = ∑ hn −2 k snj +1 , d kj = ∑ g n −2 k snj +1 ,   (3.17)
                       n∈Z                       n∈Z

                 n = 0, N − 1, j = − 1, − 2, ...

   snj +1 = ∑ hn −2 k skj + ∑ g n −2 k d kj , n = 0, N − 1, j = ..., − 2, − 1
          k ∈Z             k ∈Z
                                                                       (3.18)


                                                                           36