Введение в вейвлет-анализ. Юдин М.Н - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

34
2
|( 2 )| 1
kZ
k
ϕω π
∈
+
=
∑
)
Поэтому ппреход от условия 6
0
к условию 6
0
′ осуществляется по
формуле
1
2
2
()
?
()
|( 2 )|
kZ
g
gk
ω
ϕω
ωπ
∈
=

+


∑
)
)
Функция
ϕ
(
⋅
) называется масштабирующей функцией (scaling
function) КРА. Свойство 4
0
позволяет по одному подпространству V
0
построить все семейство {V
j
}
j ∈ Z
. Из 4
0
и 6
0
′ следует, что ∀ j ∈ Z
система функций {
ϕ
jk
(
⋅
)}, где
ϕ
jk
(
⋅
) := 2
j/2
ϕ
(2
j
⋅
– k), k ∈ Z, – ОНБ в
пространстве V
j
. Поскольку
ϕ
(
⋅
) ∈ V
0
и V
0
⊂ V
1
, то для
ϕ
(
⋅
)
справедливо разложение в ряд Фурье по системе {
ϕ
1k
(
⋅
)}:
)2(2)( kxhx
k
k
−=
∑
∈Z
ϕϕ
, (3.13)
где
∫
∞
∞−
−== dxkxxh
kk
)2()(2,
1
ϕϕϕϕ
, k ∈ Z (3.14)
Обозначив
kk
hc 2:= , формулу (3.13) можно переписать так:
)2()( kxcx
k
k
−=
∑
∈Z
ϕ
ϕ
. При выполнении условия нормировки
∫
=
R
dtt 1)(
ϕ
будет
2
=
∑
k
k
c .
Всплески )(x
и подпространства W
j
Поскольку V
0
⊂ V
1
, то разложим подпространство V
1
на
прямую сумму: V
1
= V
0
⊕W
0
. Для любого
Z
j
∈
определяем W
j
как ортогональное дополнение V
j
до V
j+1
:
V
j+1
= V
j
⊕ W
j
(3.15) 
                                     )
                            ∑ | ϕ (ω + 2kπ ) |
                                                  2
                                                      =1
                            k∈Z

Поэтому ппреход от условия 60 к условию 60′ осуществляется по
формуле
                                             )
                                             g (ω )
                        ϕ?(ω ) =                            1
                                        )             2
                                                            2
                                    ∑ | g (ω + 2kπ ) | 
                                    k∈Z                
Функция ϕ(⋅) называется масштабирующей функцией (scaling
function) КРА. Свойство 40 позволяет по одному подпространству V0
построить все семейство {Vj}j ∈ Z. Из 40 и 60′ следует, что ∀ j ∈ Z
система функций {ϕjk(⋅)}, где ϕjk (⋅) := 2j/2ϕ(2j⋅ – k), k ∈ Z, – ОНБ в
пространстве Vj. Поскольку ϕ(⋅) ∈ V0 и V0 ⊂ V1, то для ϕ(⋅)
справедливо разложение в ряд Фурье по системе {ϕ1k(⋅)}:

                 ϕ ( x ) = ∑ hk 2ϕ ( 2 x − k ) ,                 (3.13)
                          k ∈Z


где

                                 ∞

        hk = ϕ ,ϕ 1k = 2 ∫ ϕ ( x )ϕ ( 2 x − k )dx , k ∈ Z        (3.14)
                              −∞


Обозначив   ck := 2hk , формулу (3.13) можно переписать так:
ϕ ( x ) = ∑ ckϕ ( 2 x − k ) . При выполнении условия нормировки
          k ∈Z


                              ∫ ϕ (t )dt = 1
                               R
будет
                                   ∑ck
                                         k   = 2.


         Всплески ψ (x ) и подпространства Wj
     Поскольку V0 ⊂ V1, то разложим подпространство V1 на
прямую сумму: V1 = V0 ⊕W0. Для любого j ∈ Z определяем Wj
как ортогональное дополнение Vj до Vj+1:
                  Vj+1 = Vj ⊕ Wj                                 (3.15)


                                                                     34

Страницы