Введение в вейвлет-анализ. Юдин М.Н - 63 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

63
Глава 6. Некоторые приложения вейвлет-анализа
6.1. Решение систем линейных уравнений
Одно из наиболее интересных приложений всплесков
относится к линейной алгебре. Рассмотрим матрицу интегрального
оператора. Предположим, что двумерное вейвлет-преобразование
позволяет хорошо выполнить сжатие информации за счет того, что
большая часть вейвлет-коэффициентов настолько мала, что ими
можно пренебречь. В этом случае система линейных уравнений,
аппроксимирующая интегральный оператор, становится
разреженной системой в вейвлет-базисе.
Итак, пусть дана система линейных алгебраических уравнений
bxA
=
⋅
(6.1)
Введем обозначения:
xW:xbW:b,WAW:A
T
⋅
=
⋅
=
⋅⋅=
~
,
~
~
(6.2)
Применим одномерное вейвлет-преобразование к обеим частям
уравнения (6.1):
bWx)(W)WA(WbWx)(AW
T
⋅=
⋅
⋅
⋅
⋅
⇔
⋅=⋅⋅
Тогда вместо (6.1) получим систему уравнений:
bxA
~
~
~
=
⋅
(6.3)
Применяя к решению системы (6.3) обратное DWT, найдем
решение системы (6.1):
xWx
T
~
⋅
=
(6.4)
Остается заметить, что матрица
A
~
, как правило, сильно разрежена и
имеет иерархическую ленточную структуру, поэтому для ее
обращения можно применять известные эффективные алгоритмы.
6.2. Анализ операторов
Исторически интерес к всплескам отчасти рос благодаря тому,
что они являются эффективным инструментом для исследования
задач теории операторов и численного решения дифференциальных
уравнений в частных производных. В особенности, они полезны для
понимания свойств так называемых операторов Кальдерона-
Зигмунда.
Сначала рассмотрим в общем виде представление линейного
оператора T в wavelet-базисе. Предположим, что функция f
разлагается по базису следующим образом: 
   Глава 6. Некоторые приложения вейвлет-анализа
       6.1. Решение систем линейных уравнений
     Одно из наиболее интересных приложений всплесков
относится к линейной алгебре. Рассмотрим матрицу интегрального
оператора. Предположим, что двумерное вейвлет-преобразование
позволяет хорошо выполнить сжатие информации за счет того, что
большая часть вейвлет-коэффициентов настолько мала, что ими
можно пренебречь. В этом случае система линейных уравнений,
аппроксимирующая       интегральный     оператор,     становится
разреженной системой в вейвлет-базисе.
     Итак, пусть дана система линейных алгебраических уравнений
                         A⋅x = b                            (6.1)
Введем обозначения:
      ~                  ~
      A := W ⋅ A ⋅ W T , b := W ⋅ b, ~
                                     x := W ⋅ x      (6.2)
Применим одномерное вейвлет-преобразование к обеим частям
уравнения (6.1):
    W ⋅ (A ⋅ x) = W ⋅ b ⇔ (W ⋅ A ⋅ W T ) ⋅ (W ⋅ x) = W ⋅ b
Тогда вместо (6.1) получим систему уравнений:
                         ~   ~
                         A⋅~
                           x=b                            (6.3)
Применяя к решению системы (6.3) обратное          DWT, найдем
решение системы (6.1):
                         x = W T⋅ ~
                                  x                          (6.4)
                               ~ , как правило, сильно разрежена и
Остается заметить, что матрица A
имеет иерархическую ленточную структуру, поэтому для ее
обращения можно применять известные эффективные алгоритмы.


                   6.2. Анализ операторов
      Исторически интерес к всплескам отчасти рос благодаря тому,
что они являются эффективным инструментом для исследования
задач теории операторов и численного решения дифференциальных
уравнений в частных производных. В особенности, они полезны для
понимания свойств так называемых операторов Кальдерона-
Зигмунда.
      Сначала рассмотрим в общем виде представление линейного
оператора T в wavelet-базисе. Предположим, что функция f
разлагается по базису следующим образом:




                                                                63

Страницы