Введение в вейвлет-анализ. Юдин М.Н - 65 стр.

конечных элементов (например, для решения краевых задач). В этом
направлении имеются интересные результаты, показывающие
плодотворность использования всплесков вместо конечных
элементов.
     Типичная тестовая задача – уравнение теплопроводности. Для
дискретизации по времени обычно используется стандартная схема
Кранка-Никольсона    или    Адамса-Моултона.     Всплески     же
используются    для    дискретизации     по   пространственным
координатам. Иногда они используются как для дискретизации по
пространственным координатам, так и по времени.


    Wavelet-галеркинская аппроксимация функций
     Кратно разрешающий анализ позволяет представить
пространство L2(R) в виде:
                     L2 ( R ) = V j ⊕ ∑W j 0
                                                             (6.6)
                                                    j ≥ j0
                                                2
Следовательно, любая функция из L (R) может быть представлена в
виде линейной комбинации сдвигов масштабирующей функции ϕ(x)
при некотором фиксированном масштабе j0 и сдвигов всплесков
ψ(х):
        f ( x ) = ∑ν j k ϕ j k ( x ) + ∑∑ w jkψ jk ( x )
                       0       0
                                                             (6.7)
                 k                             j ≥ j0 k

Второе слагаемое в формуле (6.7) соответствует высокочастотным
компонентам функции f(x), которыми мы пренебрегаем в силу их
незначительности (близости к нулю). Поэтому f(x) может быть
записана в виде так называемого “вейвлет-галеркинского
разложения” (обозначим j0 через N):

                     f ( x ) ≈ ∑ v Nkϕ Nk ( x )              (6.8)
                                   k
Поскольку
                           V j = V j −1 ⊕ W j −1 ,
то можно записать:
              VN = VN ⊕ WN ⊕ WN +1 ... ⊕ WN −1
                           0           0               0

для некоторого масштаба N0 < N. Это разложение приводит к
следующему приближенное конечному разложению функции f(x):




                                                                65