Введение в вейвлет-анализ. Юдин М.Н - 66 стр.

                                          N −1
       f ( x ) = ∑ v N kϕ N k ( x ) +
                      0        0          ∑∑ w         ψ jk ( x )
                                                      jk             (6.9)
                 k                        j=N0 k
Здесь первое слагаемое представляет собою аппроксимацию f(x) на
“грубом” масштабе N0. Второе слагаемое – коррекции на более
тонких масштабах. Уравнение (6.9) полностью описывает функцию
f(x) в пределах точности проекции (6.8).


                                      ***


      Предположим, что вейвлет ψ(х) удовлетворяет условиям
компактности, ортогональности, регулярности и симметричности.
      Первым трем условиям удовлетворяют всплески Добеши
(условие регулярности говорит о полиномиальном содержании
пространств Vj (т.е. масштабирующая функция регулярности r
допускает точное представление полиномов степени r в
пространствах Vj)). Выполнение условия симметричности ведет к
построению комплексных базисов.
      Если все четыре условия выполняются, то в этом случае
масштабирующая функция ϕ(х) и ассоциированный с ней вейвлет
ψ(х) должны быть четными и нечетными соответственно
относительно точек:
                          x jk = 2 − j −1 + k 2 − j                 (6.10)
Из свойства симметричности масштабирующей функции следует
также формула:
            ∞

            ∫ 2 ) ϕ ( x )dx = 0, k = 1, 3, 5,...
           −∞
             ( x − 1 k
                                                                    (6.11)


Все это позволяет вычислить коэффициенты v Nk в представлении
(6.8). Выполняя разложение сигнала f(x) в ряд Тейлора в окрестности
точки x jk и пользуясь формулой (6.10), а также учитывая
вышеприведенные свойства, можно показать, что проекция f(x) на
подпространство VN приводит к следующему выражению для
коэффициентов:




                                                                        66