Введение в вейвлет-анализ. Юдин М.Н - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

64
)(,)(
,
xfxf
jk
kj
jk
ψψ
∑
=
Тогда
)(,)(
,
xTfxTf
jk
kj
jk
ψψ
∑
=
и, используя вейвлет-представление функции, получим:
∑∑
∑
∑
=
=
likj
iljkiljk
il
li
iljk
kj
jk
xfT
xTf
,,
,,
)(,,
)(,,
ψψψψ
ψψψψ
(6.5)
Другими словами, действие оператора T непосредственно на
функцию f переведено в действие бесконечной матрицы
iljkT
TA
ψψ
,=
на последовательность
{
}
jk
f
ψ
,
.
Представление (6.5) оператора T посредством матрицы
T
A
часто
называют “стандартным представлением” T. Существует также
“нестандартное представление” оператора. Например, для
интегральных линейных операторов вида
∫
= dyyfyxKxTf )(),()(
нестандартное представление T – просто набор [ двумерных ]
wavelet-коэффициентов ядра K, получающихся при разложении
{
}
j
kk
K
21
,
ψ
.
Для большого класса операторов матричное представление,
стандартное или нестандартное, имеет довольно точную структуру
со многими малыми элементами. В этом представлении мы можем
сжать оператор, просто опуская малые элементы. По существу, это
та же самая ситуация, что и в случае сжатия изображений. Теперь
“изображением” является ядро K(x, y). Следовательно, основные
действия типа инверсии и умножения можно выполнять со сжатыми
матрицами вместо дискретной версии оператора T. Это позволит
значительно ускорить их численное обращение.
6.3. Решение задач математической физики
Из-за близких подобий между масштабирующей функцией и
конечными элементами кажется естественным использовать
всплески в задачах, где традиционно используются методы 
                              f ( x ) = ∑ f ,ψ jk ψ jk ( x )
                                           j ,k
Тогда
                            Tf ( x ) = ∑ f ,ψ jk Tψ jk ( x )
                                          j ,k
и, используя вейвлет-представление функции, получим:
                 ∑j ,k
                         f ,ψ jk   ∑ Tψ
                                   i ,l
                                                  jk   ,ψ il ψ il ( x ) =
                                                                                             (6.5)
                                                                              
                 = ∑  ∑ Tψ jk ,ψ il                    f ,ψ jk   ψ il ( x ) 
                   i ,l  j ,k                                                 
     Другими словами, действие оператора T непосредственно на
функцию f переведено в действие бесконечной матрицы
AT =      Tψ jk ,ψ il              на      последовательность                      {   f ,ψ jk   }.
Представление (6.5) оператора T посредством матрицы AT часто
называют “стандартным представлением” T. Существует также
“нестандартное представление” оператора. Например, для
интегральных линейных операторов вида
                             Tf ( x ) = ∫ K ( x, y ) f ( y )dy
нестандартное представление T – просто набор [ двумерных ]
wavelet-коэффициентов ядра K, получающихся при разложении
{ K ,ψ    j
         k1k 2   }.
     Для большого класса операторов матричное представление,
стандартное или нестандартное, имеет довольно точную структуру
со многими малыми элементами. В этом представлении мы можем
сжать оператор, просто опуская малые элементы. По существу, это
та же самая ситуация, что и в случае сжатия изображений. Теперь
“изображением” является ядро K(x, y). Следовательно, основные
действия типа инверсии и умножения можно выполнять со сжатыми
матрицами вместо дискретной версии оператора T. Это позволит
значительно ускорить их численное обращение.


        6.3. Решение задач математической физики
     Из-за близких подобий между масштабирующей функцией и
конечными элементами кажется естественным использовать
всплески в задачах, где традиционно используются методы


                                                                                                 64

Страницы