Введение в вейвлет-анализ. Юдин М.Н - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

7
.)(),())((:)( dtetfetffFf
titi
ωω
ωω
−
∞
∞−
∫
===
)
(1.5)
Обратное преобразование Фурье есть отображение
)()(:
221
RLRLF →
−
, действующее по формуле:
.)(
2
1
),(
2
1
))((:)(
1
ωω
π
ω
π
ωω
defeftfFtf
titi
∫
∞
∞−
−−
===
)))
(1.6)
• Для любых двух функций
f, g
∈
L
2
(R) имеет место равенство
Парсеваля:
dtgfdttgtfgfgf )()(
2
1
)()(,,
2
1
,
ωω
ππ
)
)
)
)
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
==
(1.7)
При f = g из (1.7) получается равенство Планшереля:
ffff
)
)
,
2
1
,
π
=
или
ωω
π
dfdttf
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
=
2
2
)(
2
1
)(
)
(1.8)
• Преобразование Фурье свертки функций f(t) и g(t) равно
произведению их Фурье-образов:
)()())(*(
ωω
gftgfF
)
)
= (1.9)
• Носителем функции f называется замыкание множества всех
точек, в которых f ≠ 0; носитель f обозначается supp f. Под
компактным множеством понимается замкнутое
ограниченное множество в конечномерном пространстве R
n
(n
∈ N). Если supp f – компактное множество, то функция f
называется финитной.
• Конечная и бесконечная система функций {f
к
} из L
2
(R)
называется ортогональной, если 
                                                  ∞
    )
    f (ω ) := F ( f )(ω ) = f (t ), e iωt =       ∫ f (t )e
                                                                  − iωt
                                                                          dt.     (1.5)
                                                 −∞


  Обратное       преобразование          Фурье          есть               отображение
        −1
      F : L ( R ) → L ( R ) , действующее по формуле:
             2          2


                                                             ∞
              )          1 )                  1                   )
f (t ) := F ( f )(t ) =    f (ω ), e − iωt =                 ∫    f (ω )e iωt dω .
           −1

                        2π                   2π              −∞
                                                                                  (1.6)

  • Для любых двух функций f, g∈L (R) имеет место равенство
                                            2

    Парсеваля:

                            ∞                           ∞
            1 ) )                                   1        )      )
    f ,g =
           2π
              f ,g ,        ∫
                            −∞
                               f ( t ) g ( t )dt =
                                                   2π   ∫
                                                        −∞
                                                             f (ω ) g (ω )dt (1.7)

При f = g из (1.7) получается равенство Планшереля:

                                 ∞                           ∞
           1 ) )                                  1               )     2
                                 ∫                           ∫
                                           2
   f, f =    f, f        или         f (t ) dt =                  f (ω ) dω       (1.8)
          2π                    −∞
                                                 2π          −∞


  • Преобразование Фурье свертки функций f(t) и g(t) равно
    произведению их Фурье-образов:
                                     )      )
                   F ( f * g )(t ) = f (ω ) g (ω )                                (1.9)

  • Носителем функции f называется замыкание множества всех
    точек, в которых f ≠ 0; носитель f обозначается supp f. Под
    компактным      множеством        понимается      замкнутое
    ограниченное множество в конечномерном пространстве Rn (n
    ∈ N). Если supp f – компактное множество, то функция f
    называется финитной.
  • Конечная и бесконечная система функций {fк} из L2(R)
    называется ортогональной, если




                                                                                      7

Страницы