Введение в вейвлет-анализ. Юдин М.Н - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

8
nmdttftfff
nmnm
≠==
∫
∞
∞−
,0)()(,
(1.10)
• Ортогональная система функций называется полной, если в
L
2
(R) не существует функции, отличной от нулевой и
ортогональной всем элементам системы. Ортогональная
система функций называется ортонормированной, если ||f
k
|| = 1
для всех k. Полная ортонормированная система функций
называется ортонормированным базисом пространства L
2
(R).
• Числа α
k
=<f, f
k
> называются коэффициентами Фурье функции
f(t) относительно ортонормированной системы функций {f
k
}:
dttftfff
kkk
)()(,
∫
∞
∞−
==
α
(1.11)
Если функция f
∈
L
2
(R) представима в форме
)()( tftf
k
k
k
∑
=
λ
,
то это представление единственно и коэффициенты
λ
k
равны
коэффициентам Фурье α
k
функции f(t). Формула
)()( tftf
k
k
k
∑
=
α
(1.12)
называется разложением Фурье (или ортогональным
разложением) функции f(t) по системе функций {f
k
}. Каждая
функция f
k
порождает подпространство L
k
, состоящее из
функций вида {
λ
f
k
},
λ∈
R. Выражение
)()(P
r
t
f
t
f
kkL
k
α
= совпадает с проекцией функции f(t) на
подпространство L
k
;
• Система {f
n
} является базисом Рисса, если любой элемент
f
∈
L
2
(R) может быть единственным образом представлен в виде
n
Zn
n
fcf
∑
∈
= и существуют положительные константы А и В
такие, что 
                        ∞

            fm , fn =   ∫f
                        −∞
                             m   (t ) f n (t )dt = 0, m ≠ n         (1.10)

• Ортогональная система функций называется полной, если в
  L2(R) не существует функции, отличной от нулевой и
  ортогональной всем элементам системы. Ортогональная
  система функций называется ортонормированной, если ||fk|| = 1
  для всех k. Полная ортонормированная система функций
  называется ортонормированным базисом пространства L2(R).
• Числа αk= называются коэффициентами Фурье функции
  f(t) относительно ортонормированной системы функций {fk}:

                                          ∞

                αk = f , fk =
                                      −∞
                                          ∫ f (t ) f   k   (t )dt   (1.11)


  Если функция f∈L2(R) представима в форме

                        f ( t ) = ∑ λk f k ( t ) ,
                                      k


  то это представление единственно и коэффициенты λk равны
  коэффициентам Фурье αk функции f(t). Формула

                     f ( t ) = ∑α k f k ( t )                       (1.12)
                                  k


  называется разложением Фурье (или ортогональным
  разложением) функции f(t) по системе функций {fk}. Каждая
  функция fk порождает подпространство Lk, состоящее из
  функций        вида           {λfk},     λ∈R.       Выражение
  PrL f (t ) = α k f k (t ) совпадает с проекцией функции f(t) на
      k

  подпространство Lk ;
• Система {fn} является базисом Рисса, если любой элемент
  f∈L2(R) может быть единственным образом представлен в виде
   f = ∑ cn f n    и существуют положительные константы А и В
          n∈Z
  такие, что




                                                                         8

Страницы