ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
31
y
2
1
0 x
Так как числитель функции обращается в 0 в особой точке z = 0,
то теорема 2 п. 11 в данном случае неприемлема. Поэтому
найдем вычет в точке
0z
=
, разлагая функцию в ряд Лорана в
окрестности точки
0z
=
:
246
cos 1 ... ,
2! 4! 6!
zzz
z =− + − +
24 6
cos 1 ... ,
224720
zz z
z −=− + − +
53
cos 1 1 1
... .
2 24 720
zz
zzz
−
=− + − +
Отсюда
5
0
cos 1 1
res ,
24
z
z
−
=
5
1/ 2
cos 1 1
2.
24 12
z
zi
dz i
z
π
π
=
−
=⋅=
∫
С
14. Вычисление несобственных интегралов от функций
действительной переменной с помощью вычетов
Теорема. Пусть )(zf − аналитическая в верхней
полуплоскости, за исключением конечного числа особых точек
1
z ,
2
z ,
3
z ,…,
n
z , и непрерывная функция на действительной оси.
32
Пусть, кроме этого, существует конечный предел
)(lim
2
zfz
z ∞→
.
Тогда справедливо равенство
1
() 2 res ()
k
n
z
k
f
xdx i f z
π
+∞
=
−∞
=⋅
∑
∫
. (17)
Пример. Вычислить интеграл
22
(1)
dx
x
+∞
−∞
+
∫
.
Решение. Найдем особые точки подынтегральной функции.
))(()1(1
2222
ixixixxx +−=−=−−=+ . Отсюда
2222
)()(
1
)1(
1
ixixx +−
=
+
Подынтегральная функция имеет две особые точки
i
z
=
,
i
z
−
=
, причем в верхней полуплоскости лежит только
точка iz
=
.
Определим тип этой особой точки с помощью теорем 1, 2 п. 11:
)()()(
2
zgizz −=
ψ
,
2
)()( izzg += ,
iziiig =⇒≠−=+= 04)()(
2
− нуль кратности 2 для
знаменателя.
izi
=
⇒
≠
=
01)(
ϕ
− полюс второго порядка функции
22
)()(
1
)(
ixix
zf
+−
= .
Вычислим вычет в точке
zi
=
2
22 22
2
33
11
res lim ( )
()() ()()
221
lim ( ) lim( )
() ()4 4
zi
i
zi zi
d
zi
zi zi dz zi zi
i
zi
zi ii i
→
−
→→
=
−⋅ =
−+ −+
′
=+=− =−==−
++
Отсюда, в силу теоремы,
22
2()
(1) 42
dx i
i
x
π
π
+∞
−∞
=
⋅− =
+
∫
.
