Теория функций комплексного переменного. Улымжиев М.Д - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

27
12. Вычеты
Вычетом функции ()
f
z в изолированной особой точке
0
z
называется коэффициент
1−
C (коэффициент при
0
1
zz −
)
разложения функции
()
f
z в ряд Лорана в окрестности точки
0
z .
Вычет функции
()
f
z в точке
0
z обозначается через
0
res ( )
z
f
z
.
Пример. Найти вычет функции
32/
()
z
f
zze=
в особой точке.
Решение. Особой точкой функции
()
f
z является точка z = 0.
Разложим функцию в ряд Лорана в окрестности точки z = 0.
...
!4!3!2!1
1
432
+++++=
zzzz
e
z
,
...
!4
16
!3
8
!2
42
1
432
2
+++++=
zzz
z
e
z
,
...
3
2
3
4
22
23
2
3
+++++=
z
zzzez
z
.
По определению вычетом функции в точке z = 0 является
коэффициент при
1/ z . Отсюда
32/
0
res 2 /3
z
ze = .
Вычеты функции в полюсах можно вычислять, не разлагая
функцию в ряд Лорана. Если
0
z − простой полюс функции ()
f
z ,
то вычет функции в точке
0
z вычисляется по формуле
0
0
0
res ( ) lim( ) ( )
zz
z
f
zzzfz
→
=
− . (14)
Если
0
z − полюс порядка n функции ()
f
z , где
2n ≥
, то
вычет функции в точке
0
z находится по формуле
0
0
1
0
1
1
res ( ) lim ( ) ( )
(1)!
n
n
n
zz
z
d
f
zzzfz
ndz
−
−
−

=−

−
(15)
Пример. Найти вычеты функции
2
()
(3)( 9)
z
e
fz
ziz
=
+
+
в
особых точках.
28
Решение. Как было показано в примере 1 п. 11. особыми
точками функции являются точки z = −3i и z = 3i, причем точка
z = −3i является полюсом второго порядка, а точка z = 3i
является простым полюсом функции. Отсюда, по формулам (14)
и (15) получаем:
222
33
3
33
22
3
res lim( 3 ) lim( 3 )
(3)( 9) (3)( 9) (3)(3)
lim ,
(3) (33) 36
zz z
zi zi
i
zii
zi
ee e
zi zi
ziz ziz zizi
eee
zi ii
→→
→
=− =−
++ ++ +−
===−
++
21
2
2212
3
3
33
22
33
3
3
1
res lim ( 3 )
(3)( 9)(21)! (3)(3)
(3) (33)
lim lim
3 ( 3) ( 3 3)
(6 1) 1
(1 6 ).
36 36
zz
zi
i
zzzi i
zi zi
i
i
ede
zi
ziz dz zizi
d e ezie e iie
dzzi zi ii
ei
ei
−
−
→−
−
−−
→− →−
−
−
=
+=
++ − +−

−− −−−
== = =

−−−−

−−
==+
−
13. Вычисление интеграла по замкнутому контуру с
помощью вычетов
Теорема (основная теорема о вычетах). Пусть функция
)(zf
аналитическая в области G за исключением конечного
числа особых точек
n
zzz ,...,,
21
и непрерывна на границе Г
области G. Тогда справедливо равенство
1
() 2 res ().
k
n
z
k
f
zz i fz
π
=
Γ
∂=
∑
∫С
(16)
Правило вычисления интеграла по замкнутому контуру с
помощью основной теоремы о вычетах:
1)
Найти особые точки подынтегральной функции.

Страницы