ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
29
2) Нарисовать на комплексной плоскости контур
интегрирования и особые точки функции.
3)
Вычислить вычеты подынтегральной функции в тех
особых точках, которые попали внутрь контура
интегрирования.
4)
Интеграл будет равен сумме данных вычетов,
умноженной на
2 i
π
.
Пример 1. Вычислить
∫
=−
+
23
24
cos
iz
dz
zz
z
Решение. Найдем особые точки подынтегральной функции.
Для этого разложим знаменатель функции на множители:
42 2 2
(1) ()()zz z zzizi+= += − +.
Особыми точками функции являются точки
1
0z
=
,
,
2
iz
−
=
iz =
3
.
Изобразим на комплексной плоскости точки
321
,, zzz и
контур интегрирования.
y
i
0 x
-i
30
Внутри контура интегрирования попадают особые точки
21
, zz
. Определим тип этих особых точек с помощью теорем 1 и
2 п. 11:
Обозначим:
zz cos)(
=
ϕ
,
42
()zzz
ψ
=
+
1)
z = 0, )()(
2
zgzz =
ψ
,
2
() 1gz z
=
+ ,
001)0( =⇒
≠
=
zg
−
нуль
кратности 2 знаменателя,
(0) cos0 1 0 0z
ϕ
=
=≠ ⇒ =
− полюс
второго порядка функции
24
cos
)(
zz
z
zf
+
=
.
2)
z =
i
,
)()()( zgizz
−
=
ψ
, )()(
2
izzzg += ,
iziiiiig =⇒≠−=+= 02)()(
2
− нуль кратности 1 для
знаменателя,
izii
=
⇒
≠
=
0cos)(
ϕ
− простой полюс
функции
24
cos
)(
zz
z
zf
+
=
.
Вычислим вычеты в этих точках с помощью формул (14) и
(15):
2
2
42 22 2 2 2
000
0
cos cos cos sin ( 1) 2 cos
res lim lim lim 0
(1) 1 (1)
zzz
zd z z zz zz
z
zz dz zz z z
→→→
′
−+−
=
== =
++++
42 2 2 2
cos cos cos cos cos
res lim( ) lim 2 cos
()() () () 2
zi zi
i
zzzii
zi i i
zz zzizi zziiii i
→→
= − = = =− =−
+−+++
отсюда, согласно основной теоремы о вычетах, получаем:
42
3
2
cos
2(02cos)4cos
zi
z
dz i i i i
zz
ππ
−=
=− =
+
∫С
Пример 2. Вычислить интеграл
5
1/ 2
cos 1
z
z
dz
z
=
−
∫
С
.
Решение. Подынтегральная функция имеет единственную
особую точку z = 0, которая лежит внутри контура
интегрирования.
