ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
33
15. Задачи для самостоятельного решения
А) Изобразить область, заданную неравенствами:
1)
11z −≤
,
12z −≥
;
2)
12z −≤
,
1Re >z
;
3)
11zi−− <
,
4
arg0
π
≤≤ z
;
4)
2z <
,
1Re ≥z
,
3
arg0
π
≤≤ z
;
5)
11z +≥
,
2z <
;
6)
2zi−≤
,
2Im0
<
< z
;
7)
21 << zz
,
0Re >z
,
1Im0 ≤
≤
z
.
Б) Представить комплексное число в алгебраической форме:
1)
)1ln( i+−
, 4)
)2
6
cos( i+
π
,
2)
)
3
2exp( i
π
−
, 5)
)
3
sin( i+
π
,
3)
)31ln( i+
, 6)
)2(sh i
π
−
,
7)
)
2
2(ch
i
π
+
.
В) Проверить, что функция
()uv
является действительной
(соответственно, мнимой) частью аналитической функции
)(zf
.
Найти функцию
)(zf
, если известно её значение в точке
0
z :
1)
22
ux y x=−+,
0)0(
=
f
, 5)
22
1
y
v
x
y
=−
+
,
if
+
=
1)1(
,
2)
32
31ux xy=− +,
)0(f
=1, 6)
22vxyy=−
,
(0) 1f
=
,
3)
cos
x
ve y= ,
(0)
f
=1+i, 7)
23
3vxyyy=−−,
)0(f
=0,
4)
1sin
x
uye=− , ieif
z
)7(1)7( +−=−
π
.
Г) Вычислить интеграл от функции комплексного
переменного по данной кривой:
1)
(1 )yxidz
Γ
+−
∫
, где Г – отрезок, соединяющий точки 1
0
=
z ,
34
iz
−
=
1
.
2)
22
()
x
yidz
Γ
+
∫
, где Г – отрезок прямой, соединяющий точки
iz
+
=
1
0
,
iz 32
1
+
=
.
3)
2
(7)zzdz
Γ
−
∫
, где Г – участок параболы
2
xy = , соединяющий
точки 0
0
=
z ,
iz
+
=
1
1
.
4)
2
Rezzdz
Γ
⋅
∫
, где Г – участок окружности радиуса 3 с центром в
нуле,
расположенный в первой четверти.
5)
3
Im zdz
Γ
∫
, Г - отрезок прямой, соединяющий точки 0
0
=z ,
iz 21
1
+
=
.
6)
2
Rezzdz
Γ
∫
, Г – полуокружность радиуса 2 с центром в нуле,
расположенная в верхней полуплоскости.
7)
(3 2 )zzdz
Γ
−
∫
, Г - участок параболы
2
xy = , соединяющий
точки
0
0
=
z ,
iz 42
1
+
=
.
Д) Вычислить интеграл по замкнутому контуру с помощью
теоремы Коши или формулы Коши:
1)
1
sin
2
z
z
dz
zi
=
−
∫С
, 5)
2
12
1
z
zi
e
dz
z
++ =
+
∫С
,
2)
2
z
zi
e
dz
z
+=
∫С
, 6)
1
cos
zi
zz
dz
zi
−=
+
−
∫С
,
3)
2
21/2
2
z
z
e
dz
zz
−=
−
∫
С
, 7)
2
12
1
zi
z
dz
z
−− =
−
∫С
,
4)
2
2
1
1
zi
z
dz
z
−=
+
−
∫С
.
