Теория функций комплексного переменного. Улымжиев М.Д - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

25
Пример. Найти нули функции
() ( 1)
z
fz ze
=
−
и определить их
кратность.
Решение. Единственным нулем данной функции является
точка z = 0. Определим кратность этого нуля:
0
(0)0( 1)0,fe=⋅ − =
zz
zeezf +−=
′
1)( , , 001)0(
00
=+−=
′
eef ,
zzzzz
zeezeeezf +=++=
′′
2)( , 002)0(
00
≠+=
′′
eef .
Таким образом, точка z = 0 является нулем кратности 2 функции
)1()( −=
z
ezzf .
Теорема 1. Для того, чтобы точка
0
z была нулем кратности
n функции
()
f
z
, необходимо и достаточно, чтобы она была
представлена в виде
0
() ( ) ()
n
f
zzzgz=−
,
где g(z) – аналитическая в точке
0
z функция, причем g(
0
z )
0
≠
.
Пример. Найти нули функции
2
() ( 1)( 3 2)fz z z z
=
−−+ и
определить их кратность.
Решение. Разложим функцию
)(zf
на множители. Для этого
найдем корни квадратного трехчлена
23
2
+− zz
:
2
13
2,1
±
=z
,
1
1
=z
,
2
2
=z
.
222
32(1)( 2)(1)( 32)(1)(2)zz zz zzz z z−+=− −⇒− −+=− −
Таким образом, функция имеет два нуля: точки z = 1 и z =
2. Определим кратность этих нулей:
1)
1=z
, )()1()(
2
zgzzf ⋅−= , где g(z)=
2
−
z
,
(1) 1 2 1 0g =− =−≠
1z⇒=
− нуль кратности 2 функции
)(zf
.
2)
2z = ,
)()2()( zgzzf
⋅
−
=
, где g(z)=
2
)1( −z ,
2
(2) (2 1) 1 0 2gz=− =≠⇒= − нуль кратности 1 функции
)(zf
.
Теорема 2. (О связи между нулем и полюсом). Пусть
)(z
ϕ
и
)(z
− функции, аналитические в точке
0
z , причем точка
0
z
является нулем кратности n функции
)(z
и не является нулем
26
функции
)(z
ϕ
. Тогда точка
0
z является полюсом порядка n
функции
()
()
()
z
fz
z
ϕ
ψ
=
.
Пример. Найти и классифицировать особые точки функции
)9)(3(
)(
2
++
=
ziz
e
zf
z
.
Решение. Разложим знаменатель дроби на множители:
⇒+−=−=+ )3)(3(39
2222
izizizz
2
)3)(3(
)(
iziz
e
zf
z
+−
= .
Таким образом, функция имеет две особые точки: z = 3i, z =
−3i. Определим тип этих особых точек с помощью теорем 1 и 2:
1)
iz 3
=
,
),()3()( zgizz
−
=
2
)3()( izzg += ,
2
(3 ) (3 3 ) 36 0 3
g
iii zi=+ =−≠⇒= − нуль кратности 1 знаменателя
дроби, izei
i
30)3(
3
=⇒≠=
ϕ
− простой полюс функции
)(zf
;
2)
iz 3
−
=
,
),()3()( zgizz
+
=
() 3, (3) 6 0gz z ig i i=− − =−≠
3zi⇒=−
− нуль кратности 1
знаменателя дроби,
3
(3) 0 3
i
ie z i
ϕ
−
−
=≠⇒=− − полюс второго
порядка функции
)(zf
.
Теорема 3. Пусть
)(z
ϕ
и
)(z
− функции, аналитические в
точке
0
z , причем точка
0
z является нулем кратности
n
функции
)(z
ϕ
и нулем кратности
m
функции
)(z
. Тогда
1)
Если
mn ≥
, то точка
0
z является устранимой особой
точкой функции
()
()
()
z
fz
z
ϕ
ψ
= .
2)
Если
mn
<
, то точка
0
z является полюсом порядка
nm −
функции
()
()
()
z
fz
z
ϕ
ψ
= .

Страницы