Теория функций комплексного переменного. Улымжиев М.Д - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

21
,
)1(3
2
)1(3
4
)1(
2
1
2
1
)1(!4
16
)1(!3
8
)1(!2
4
1
2
1
!4
1
2
!3
1
2
!2
1
2
!1
1
2
1
1
2
exp
432
432
432
Κ
Κ
Κ
+
+
+
+
+
+
+
+
+=
=+
+
+
+
+
+
+
+
+=
=+
+
+
+
+
+
+
+
+=
+
zzz
z
zzz
z
zzz
z
z
...
)1(3
2
3
4
)1(2)1(2)1()1(
23
1
2
3
+
+
+++++++=+
+
z
zzzez
z
.
Главная часть ряда Лорана:
)1(3
2
+z
+… .
Правильная часть ряда Лорана
3
4
)1(2)1(2)1(
23
++++++ zzz
.
Данное разложение справедливо в кольце
0
0 zz
<
−<+∞
.
Пример 2. Найти все разложения в ряд Лорана по степеням
z функции
1
()
(1)(3)
fz
zz
=
−
−
Решение. Разложим данную функцию на простейшие дроби:
1
1(3)(1)
( 1)( 3) ( 1) ( 3)
13 ,
AB
Az Bz
zz z z
Az A Bz B
=
+⇒=−+−⇒
−− − −
=−+−
1
0
0,
13 .
A
B
z
A
B
z
=+
=− −
Решив систему, получим
1/ 2A =− , 1/2B = .
Таким образом,
3
1
2
1
1
1
2
1
)(
−
⋅+
−
⋅−=
zz
zf
.
а) Разложим каждую из функций
1
1
−z
,
3
1
−z
в ряд Лорана в
окрестности нуля (здесь и далее используется формула суммы
бесконечно убывающей геометрической прогрессии):
23
11
1 ... .
11
zz z
zz
=− =− − − − −
−−
22
Данное разложение справедливо в круге
1z
<
.
23
23
11111
(1 ...)
33 3 33927
1
3
1
... .
3 9 27 81
zz z
z
zz
zz z
=− =− ⋅ =− + + + + =
−−
−
=− − − − −
Данное разложение справедливо при
/3 1z
<
, т. е. внутри
круга
3z
<
. Отсюда
23
23 23
111
( ) ( 1 ...) ( ...)
2239
12 8 26 80 1 4 13 40
( ...) ... .
23 9 27 81 3 9 27 81
z
fz z z z
zz z zz z
=− − − − − − + − − − =
=++ + +=++ + +
Данное разложение справедливо в круге
1z
<
.
б) Разложим функцию
1
1
z
в ряд Лорана в окрестности ∞ ,
а функцию
3
1
−z
в окрестности 0. (разложение функции
3
1
−z
в
окрестности 0 было получено в пункте
а)).
...
1111
...)
111
1(
1
1
1
11
1
1
43232
++++=++++=
−
⋅=
−
zzz
z
zz
zz
z
zz
Данное разложение справедливо при
1/ 1z
<
, т. е. в кольце
1 z<<+∞.
Отсюда
2
234
11111 11
( ) ( ...) ( ...).
223927
zz
fz
zz z z
=− ++++− +++
Данное разложение справедливо в кольце
13z
<
<
.
в) Разложим функцию
1
1
−z
,
3
1
−z
в ряд Лорана в
окрестности
∞
. (Разложение функции
1
1
−z
в окрестности ∞
было получено в п.
б).).

Страницы