ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
19
y
i
0 x
-i
В силу теоремы Коши,
1
0
z
zi
e
dz
zi
+=
=
−
∫С
.
Теорема. Пусть функция ()wfz= аналитична в односвязной
области
G и непрерывна на границе Г этой области. Тогда для
любой точки
0
zG
∈
справедливо равенство
0
0
1()
()
2
fz
f
zdz
izz
π
Γ
=
−
∫
С
, (12)
где направление обхода контура Г − положительное (против
часовой стрелки).
Замечание. Формула (12) называется формулой Коши.
Пример 2. Вычислить
12
z
z
e
dz
zi
−=
−
∫С
.
Решение. Точка iz
=
0
лежит внутри круга, ограниченного
окружностью
12z
−
= .
y
i
0 1 2 3 x
Функция
z
we
=
дифференцируема в круге и на границе
круга. Поэтому, в силу формулы Коши, получаем
20
2
z
i
e
dz i e
zi
π
Γ
=
⋅
−
∫С
.
9. Ряд Лорана
Если функция
()wfz
=
аналитична в кольце
0
rzz R<− <
,
то она разлагается в этом кольце в ряд Лорана
0
() ( ).
n
n
n
f
zCzz
+∞
=−∞
=−
∑
(13)
Коэффициенты
n
C ряда Лорана находятся по формулам:
1
0
1()
2( )
n
n
f
zdz
C
izz
π
+
Γ
=
−
∫
С
,
,...2,1,0
±
±
=
n
где
Γ – произвольная окружность с центром в точке
0
z ,
лежащая в кольце. Разложение в ряд Лорана единственно.
Ряд
1
0
()
n
n
n
Cz z
−
=−∞
−
∑
называется главной частью ряда Лорана.
Ряд
0
0
()
n
n
n
Cz z
+∞
=
−
∑
называется правильной частью ряда Лорана.
На практике для разложения функций в ряд Лорана используют
известные разложения элементарных функций в ряд Тейлора.
Замечание. Разложить функцию
()wfz
=
в окрестности
точки
0
z означает разложить её в ряд Лорана в кольце
0
0 zz
ε
<− <
для некоторого
0>
ε
.
Пример 1. Разложить функцию
2
() ( 1)exp
1
fz z
z
=+
+
в ряд
Лорана по степеням
z + 1.
Решение. Воспользуемся разложением показательной
функции в ряд Тейлора (см. п. 3.):
234
exp( ) 1 ... ,
1! 2! 3! 4!
zz z z
z
=
++ + + +
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- …
- следующая ›
- последняя »