Теория функций комплексного переменного. Улымжиев М.Д - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

17
22
(2) (2) ( ),y xydy i y xydx x y dy
Γ
−− + − + −
∫
2
22 2 2
1
2
22
22 2 2 2
1
11
( ) ( 2 ) ( (2 ) ) (2 2 (2 ))2
3
(4 )(24)2 (53)
2
40 5 3 35 9 43
(6 ) ,
33 2 326
x
y x dx y xy dy x x x dx x x x dx
xxxdxxxdx xxdxx
Γ
−+ −− = − + − −⋅ =
=−+−− = − = =
=−−−=−=
∫∫
∫∫
2
22 2 2 2
1
22
22
22 2 3 2
11
11
(2) ( ) (24) ( 4 )2
(2 4 6 2 ) ( 10 4 ) ( 10 /3) 2
80 10 70 52
82 6 .
33 3 3
yxydxxyxdy xxdxx xxdx
xxxxdx xxdx x x
Γ
−+−+=−+−+⋅=
=−−+ =−+ =− + =
=− + + − =− + =−
∫∫
∫∫
Ответ:
2
43 52
()
63
zzdz i
Γ
+=−
∫
.
Пример 2. Вычислить
2
Im zdz
Γ
∫
, где Г – часть окружности
радиуса 1 с центром в
О, расположенная в первой четверти
(направление обхода – против часовой стрелки).
Решение. Запишем параметрические уравнения окружности:
cos ,
sin , 0 / 2.
xt
ytt
π
=
=≤≤
y
Отсюда
sin ,
cos .
dx x dt t dt
dy y dt t dt
′
==−
′
==
0 1 x
2 222
() 2,zxiyxyixy=+ =−+
2
Im 2zxy=
2
Im 2 2 0 0 2 2 2z dz xy dz xy dx dy i dx xy dx xy dx i xy dy
ΓΓΓ Γ ΓΓ
==−++=+
∫∫∫ ∫ ∫∫
18
/2 /2
2
00
2 2cos sin ( sin ) 2 sin cos
x
ydx t t t dt t tdt
ππ
Γ
=
−=− =
∫∫ ∫
1
2
sin
00sin
cos
sin
==
==
=
=
=
π
τ
τ
τ
τ
B
H
tdtd
t
1
1
23
0
0
22
2
33
d
ττ τ
=
−=−=−
∫
,
/2 /2
2
00
cos
sin
2 2cos sin cos 2 sin cos
cos 0 1
cos 0
2
н
в
t
dtdt
xy dy t t t dt t t dt
ππ
τ
τ
τ
π
τ
Γ
=
=−
=
===
==
==
∫∫ ∫
1
01
223
0
10
22
22
33
dd
ττ ττ τ
=− = = =
∫∫
.
Отсюда
2
22
Im .
33
zdz i
Γ
=− +
∫
8. Теорема Коши. Интеграл Коши
Теорема Коши. Пусть функция ()wfz
=
аналитична в
односвязной области
G и непрерывна на границе Г этой области.
Тогда
() 0fzdz
Γ
=
∫С
.
Пример 1. Вычислить
1
z
zi
e
dz
zi
+=
−
∫С
.
Решение. Подынтегральная функция аналитична внутри и на
окружности
1zi
+
= , так как точка iz
, в которой функция не
дифференцируема, лежит вне окружности.

Страницы