Теория функций комплексного переменного. Улымжиев М.Д - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

15
Уравнение (10) называется уравнением Лапласа.
Теорема. Если функция ()wfz= аналитична в области G, то
её действительная и мнимая части являются гармоническими
функциями в этой области.
Теорема. Любая гармоническая в односвязной области
функция является действительной (мнимой) частью некоторой
аналитической в этой области функции.
Пример. Проверить, что функция
22
vx y
=
−
является мнимой
частью некоторой аналитической функции и найти эту функцию,
если
(0) 1f = .
Решение. Проверим, что функция
22
vx y
=
− является
гармонической:
22
()2
x
v
x
yx
x
∂
′
=− =
∂
,
2
2
(2 ) 2
x
v
x
x
∂
′
==
∂
,
22
()2
y
v
x
yy
y
∂
′
=− =−
∂
,
2
2
(2) 2
y
v
y
y
∂
′
=− =−
∂
.
Т.о.
22
22
0
vv
xy
∂∂
+
=
∂∂
⇒ функция
22
vx y
=
− является
гармонической. Следовательно, функция
22
x
y
ν
=
− является
мнимой частью некоторой аналитической функции
()
z . В силу
условий Коши−Римана имеем
2
uv u
y
xy x
∂∂ ∂
=⇒=−
∂∂ ∂
.
Интегрируя последнее равенство по переменной
x
, получим
(2) 2 ()uyxxyCy=− ∂=− +
∫
.
Функцию
)( yC найдем, используя второе условие
Коши−Римана
uv
yx
∂∂
=−
∂∂
.
()
.2)(0)('
2)('2)('2')(2
CxyuCyCyC
x
v
xyCxyCxyCxy
y
u
y
+−=⇒=⇒=⇒
∂
∂
−=−=+−⇒+−=+−=
∂
∂
16
Следовательно,
22
() 2 ( )
f
zuiv xyCixy=+ =− + + −
.
Константу
С найдем из условия 1)0(
=
f .
(0) 1f =
22
(0 0) 1 2 0 0 (0 0 ) 1 1fi Ci C⇒+⋅=⇒−⋅⋅++−=⇒=.
Таким образом, функция
()wfz
=
имеет вид
)(12)(
22
yxixyzf −++−= .
7. Интегрирование функций комплексного переменного
Вычисление интеграла от функции () (, ) (, )wfz uxy ivxy
=
=+
вдоль кривой
Γ
сводится к вычислению двух криволинейных
интегралов 2
го
рода по формуле :
() (,) (,) (,) (,)
f
zdz uxydx vxydy i vxydx uxydy
ΓΓ Γ
=−+ +
∫∫ ∫
(11)
Пример 1. Вычислить
2
()zzdz
Γ
+
∫
, где Г – отрезок прямой,
соединяющий точки
0
1zi
=
+ и
1
23zi
=
+ .
Решение. Найдем уравнение линии Г как уравнение прямой,
проходящей через точки (1,1) и (2,3):
11 1
121,
21 31 2
xy y
xyx
−− −
=⇒−=⇒=−
−−
(2 1) 2dy y dx x dx dx
′
′
=
=− =
.
Найдем действительную и мнимую части подынтегральной
функции:
2222
22
() 2
(2).
z z x iy x iy x i xy y xiy
xyxiyxy
+= − ++ = − − + =
=−++ −
Вычислим интеграл по формуле (11):
222 22
()( (2))( )z z dz x y x i y xy dz x y x dx
ΓΓ Γ
+=−++− =−+−
∫∫ ∫

Страницы